2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷(含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知空间中不过同一点的三条直线，，，则“，，在同一平面”是“，，两两相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
( )
A. B.
C. D.
6.函数在区间的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.若，则
( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 在上单调递增
D. 为奇函数
11.已知直线与圆，点，则下列说法正确的是
( )
A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切
12.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是
14.已知，函数若，则 ．
15.若，则的值是______．
16.已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，，，分别为角，，的对边，且满足．
求角；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中，．
证明：平面平面；
判断母线上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
21.本小题分
已知正项数列的前项和为，，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
证明：对于任意正整数，都有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
先求出集合，然后求并集即可．
【解答】
解：集合，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
解：由，得，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．
求出向量的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于的方程，求解即可．
【解答】解：向量，，
，
又，
，
解得．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题借助空间的位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．
由，，在同一平面，则，，两两相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，
则，，两两相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
故充分性不成立；
若，，两两相交，则，，在同一平面，故必要性成立．
故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于中档题．
由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．
【解答】
解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
令，
得：，
即平移后的图象的对称轴方程为．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，再利用的符号确定选项．
【解答】
解：，
则，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，，
当时，，故排除．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于中档题．
由，可得，令，则在上单调递增，且，结合函数的单调性可得，的大小关系，结合选项即可判断．
【解答】
解：由，可得，
令，则在上单调递增，且，
所以，即，
由于，故，
因为不确定与的大小，故CD错误，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查奇函数和偶函数的定义以及利用基本不等式求最值，难度一般，属于中档题．
首先结合奇函数和偶函数求出的解析式，再结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解： 是偶函数，
，
进而得到：，
是奇函数，
，
进而得到：，，
由得到：，当且仅当 时取得等号，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的性质判断不等关系，属于中档题．
由不等式的性质，结合作差法比较大小、特殊值法等依次判断即可．
【解答】
解：对于，若，令，，则，，，故A错误
对于，若，显然，则，则，故B正确
对于，因为，所以，所以，同理可得，即，故C正确对于，，
因为，所以，，，故，即，故D错误．
故选BC．
10.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，，或不符合图象，舍去．
再根据五点法作图，可得，，
由函数的解析式，可得函数的最小正周期为，故A正确；
令，求得，为最大值，可得函数的图像关于直线对称，故有，故B正确；
在上，，函数不单调，故C错误；
由题意可得，，为奇函数，故D正确．
故选：．
根据题意，由函数的图象的顶点坐标求出，由特殊点的坐标求出的值，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．
【解答】
解：圆心到直线的距离，
若点在圆上，则，所以，
则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，所以，
则直线与圆相离，故B正确；
若点在圆外，则，所以，
则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则即，
所以，直线与圆相切，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础题．
由，，成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断和的符号．
【解答】
解：设等差数列的首项为，则，，，
由，，成等比数列，得，整理得：，
，，
，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
把已知点的坐标代入双曲线方程，求得，则双曲线的渐近线方程可求．
【解答】
解：双曲线经过点，
，解得，即．
又，该双曲线的渐近线方程是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查已知分段函数的函数值求参，属基础题．
根据题意列方程求解即可．
【解答】
解：由题意知，，
则，解得．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：原式化为：
所以，因为，，所以
故答案为：
利用和差化积公式化简、，
本题是基础题，考查三角函数的和差化积，三角函数的特殊值求角，注意角的范围．
16.【答案】
【解析】解：如图，
设在平面内的射影为，则平面，
由于，，平面，所以，，，
过作，，垂足分别为，，则，
由于，所以四边形是矩形，
由于，，平面，所以平面，
平面，所以；同理可证得，
所以，
所以，
即到平面的距离是．
故答案为：．
通过线线垂直、线面垂直以及勾股定理等知识求得到平面的距离．
本题考查了空间位置关系和空间距离的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
化简得，
所以，
因为，
所以；
，
，
由余弦定理得，
即，
则，
从而有，
则，
故的周长为．
【解析】由条件利用正弦定理可得，求得的值，即可求得的值；
由面积，求出，再结合余弦定理求出即可求解．
本题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：当时，，
则，，
所以切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为．
在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
所以的取值范围为．
【解析】将代入中，求出切线的斜率，再求出切线方程即可；
由在上恒成立，可得在上恒成立，令，判断的单调性，再求出的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属基础题．
19.【答案】解：证明：由题意可知在下底面圆中，是直径，
，为的的中点，且，
，，，平面，
平面，
平面，平面平面．
设平面交圆柱上底面于，交于点，
则二面角的大小就是二面角的大小，
分别以下底面垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，底面圆半径为，，
则，，，
设，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
设平面的法向量为，
由，取，得，
，
化简，得，解得或舍，
，，
平面，平面，平面平面，
，，且为中点，
，，
，
母线上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，的长为．
【解析】将面面垂直转化为平面，根据圆和圆柱的性质可证；
建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查面面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：因为
，
所以的最小正周期．
将函数图象向右平移个单位长度得到，
则，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
【解析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
由可得，即可求出，再根据计算可得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：已知正项数列的前项和为，，
，，
当时，，
两式相减得，
化简可得，
又，所以，即，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
由知，，
所以
，
所以．
【解析】利用数列的递推式得到数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求解；
利用裂项相消求和即可求解．
本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
若，当时，，所以在上单调递增；
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：当时，由知，在上单调递增，
所以，所以，
对于任意正整数，令，得，
所以．
【解析】对求导，分和两种情况，判断的单调性即可；
当时，根据条件得到，令，得，再证明不等式成立即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属难题．
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