湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三年级第二学期2月份月考数学试卷(含解析）

【新结构】2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高三年级第二学期2月份月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，若 ，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象
( )
A. 关于轴对称 B. 关于原点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
3.若集合满足：若则，则称集合是一个“偶集合”已知全集，那么下列集合中为“偶集合”的是
( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项分别为，，，，，该数列从第项起成等差数列，且，则该等差数列的公差为
( )
A. B. C. D.
5.现有份不同的食品，其中有份不合格．每次取出份进行检测，直到份不合格的食品全部辨别出为止．若最后份不合格食品正好在第次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为( )
A. B. C. D.
6.如图所示．已知圆的半径为，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为
( )
A. B. C. D.
7.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，，，．，点是面内的动点不含边界，，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，下列说法正确的是
( )
A. 有两个极值点 B. 的图象关于原点对称
C. 有三个零点 D. 零点之积为
10.在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为将满足的的轨迹记为，且直线与交于相异的两点，，则下列结论正确的为
( )
A. 曲线的方程为
B. 直线过定点
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是( ) 参考数据：．
A.
B.
C.
D. 取得最大值时，的估计值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为复数的共轭复数，若复数满足，则_____．
13.已知为等腰直角三角形，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为_________．
14.海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给．若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线与函数的图象相切．
求的值；
求函数的极大值．
16.本小题分
已知在直角梯形中，，，，，，、分别为线段与的中点，现将四边形沿直线折成一个五面体如图．
在线段上是否存在点，使平面若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由；
若二面角的大小为，求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重年，随着技术进步，新能源车的渗透率继续扩大将年月视为第一个月，得到年月，我国新能源汽车渗透率如下表：
月份代码
渗透率
假设自年月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测年月的新能源渗透率；
为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在年继续执行新能源车购置税优惠政策：在年月日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税某店为促进销售，于年月推出为购买燃油车的客户代付购置税的优惠活动。已知该店共有销售员，基本工资均为元，销售员每销售一辆新能源车和燃油车的提成分别为客户实际支付车价的和。当月该店共销售了原始价格平均为万元的辆车。假设以中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，求店月份发放给所有销售员工资总和的期望工资基本工资提成，客户实际支付车价客户实付总额应付购置税
附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：，；参考数据： ．
18.本小题分
已知定点，圆，过点的直线交圆于、两点，过点作直线交于点
求点的轨迹方程；
曲线上有两个点、，直线和的斜率之积为，问是否存在实数，使得．
在的条件下，设的斜率为，已知，求的最小值．
19.本小题分
已知数列与数列满足下列条件：；；记数列的前项积为．
若，，，，求；
是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
若，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
直接利用向量垂直的坐标表示求解即可．
【解答】
解：因为，所以，解得 ．
故选C
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．
由诱导公式可得 ，由为偶函数，可知其图象关于轴对称．
【解答】
解：因为函数的定义域为，又因为 ，
由为偶函数，所以关于 轴对称．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的新定义，集合的交、并、补的运算，属于中档题．
分别求出，，，，利用“偶集合”的定义逐一判断即可．
【解答】
解：因为 ，所以 ，
因为 ，但 ，故A错误，
，因为 ，但 ，故B错误，
，所以 ，不合题意，所以选项C的说法是不正确的，
，所以 ，
满足对 ，所以 是一个“偶集合”，所以D正确，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的前项和公式等，属于基础题．
从第五项开始直接利用等差数列的前项和公式即可．
【解答】
解：设该数列为 依题意，得 ， ，， ，，成等差数列，
设公差为， ，所以 ，解得 故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合的应用，属于基础题．
利用排列组合以及分步乘法计数原理即可．
【解答】
解：由题意得，前次检测出份不合格，份合格，第份为检测出第份不合格，
先选出份合格，有 种，再选出份不合格，有 种，两份可在第一次和第二次顺序上进行全排列，
则前三次不同检测方案的种数为 ，
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线的性质，三角函数的应用等，属于基础题．
先利用已知条件求出 然后利用三角函数得到 即可．
【解答】
解：记与相交于，过作的垂线，与相交于点，如图所示，

， ，则 ．
在 中， ，则 ．
中， ．
中， ， ，则 ，
所以 故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两角差的余弦公式等，属于基础题．
先变形，然后利用两角差的余弦公式和倍角公式等即可．
【解答】
解：
．
8.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题．
先建立空间直角坐标系，然后由 ，可得 ，然后利用空间向量的数量积即可．
【解答】
解：如图，因为 ， ，所以 ．
又因为 ， ，、平面，
所以 ，
，所以 ，又
，、平面，
所以 ，所以 ．
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
由 ，可得 ，
设异面直线 与 所成角为 ，则
令 ，则 ， ，
易知 在 上单调递增，此时 ，故 ．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性的方法、极值以及函数零点的判断方法，属于中档题．
利用函数的奇偶性判断选项，再利用导数的变号零点的个数判断选项，结合 可判断选项．
【解答】
解：对于函数 ，求导可得： ，令 ，解得 ，
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 极大值为 ，极小值 ，所以选项A正确，C正确．
由 知，B错误．
对于，由可设 的三个零点分别为 ，
则 ，
所以 ，选项D正确，
故选ACD．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查曲线方程，抛物线方程以及性质，直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的定点问题，属于中档题．
对于：由题意结合抛物线的定义，得到点的轨迹方程为，可判定不正确对于：把直线化简为，可判定B正确对于：联立方程组，结合韦达定理，先求出的范围，可判定C正确，可判定D正确．
【解答】解：
由题意，点到轴的距离为，将满足 的的轨迹记为 ，即点到 轴的距离和点 到 的距离相等，结合抛物线的定义，可得点 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线，所以点 的轨迹方程为 ，所以不正确；
由直线 ，可化为 ，直线 必过定点 ，所以B正确；
联立 ，整理得 ，可得
又由 ，即 ，解得 ，且
所以 所以C正确． ，
由此判断D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布、条件概率等，属于较难题．
直接利用题意判断即可；
利用条件概率、全概率公式等进行转化判断即可；
利用正态分布的性质判断即可；
设 然后判断出这个函数的单调性即可判断．
【解答】
解：由题意 ，故A正确；
对于，由 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，故B错误；
对于选项，由
又 ，故C正确；
对于选项， ， ，设 ．
令 ，
所以 ，所以 ，
令 ，
所以 ，所以 ，故 最大时的估计值为 ，D正确．故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数、实系数方程的根等，属于基础题．
利用韦达定理即可．
【解答】
解：对于方程 ， ，
由题意可知， 、 是关于实系数方程 的两个虚根，
由韦达定理可得 ．
故答案为： ．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，关键是建立坐标系，利用方程方法求解．
建立坐标系，设出双曲线的方程，利用双曲线过点，求得的值，进而计算，求得离心率．
【解答】
解：不妨设 为 的中点，则
由于为等腰直角三角形， 所以 ．
以 中点 为原点， 所在直线为轴， 的中垂线为轴建立直角坐标系，
， ，即双曲线的半实轴长 ，
双曲线的方程可以设为： ，将的坐标 ，代入解得 ， ，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理和函数模型的应用等，属于中档题.
先设 ，则 ， ．然后利用余弦定理求出 ，然后利用函数模型即可.
【解答】
解：设 km，则 km ， ．
设 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，所以拦截点M距离海岸线的最远距离为2km．
15.【答案】解：由已知，设切点为
，故切线的斜率为 ，
即切线方程为 ，
代入 ，即 ，解得 ，故
由 ，设 ，则
令 ，得 当 时， ；当 时， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，又 ， ，
所以存在 ， ，
综上可得当 时， ；当 时， ； ， ，
从而 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
故 存在唯一极大值

【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等，属于中档题．
设出切点，然后利用导数的几何意义即可；
先利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可．
16.【答案】证明：存在， 为 的中点，证明如下：
取 中点 ，取 中点 ，连接 、 、 ．
、 为梯形 两腰中点， 、 为梯形 两腰的中点，

与 平行且相等，
则四边形 为平行四边形，得
平面 ， 平面 ，
平面
解：由题意，可知 ， ， ，、平面，
所以 平面 ，
又平面，
即平面 平面 ，同时 即为二面角 的平面角，
所以
又因为 ，故 为等边三角形，
在直角梯形 中， ， ， ， ， ，
可得 ，故
过 作 于点 ，易知 为 的中点，如图以点 为原点，建立空间直角坐标系．

， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
所以 ，即 ，
取 ，得 ， ，
即 是平面 的一个法向量．
亦可取中点，向量 也是一个法向量
设平面 的法向量为 ， ， ，所以
，即 ，取 ，得 ， ．
即 是平面 的一个法向量．
设平面 与平面 所成夹角为 ，则
．
综上，平面 与平面 所成夹角的余弦值为

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题．
取 中点 ，取 中点 ，连接 、 、 ，可得四边形 为平行四边形，得，再由线面平行的判定可得平面；
由二面角的大小为可得 为等边三角形，以点 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，可得二面角的余弦值．
17.【答案】解：计算得 ， ，
所以 ，
，
则回归直线方程为 ，代入 得 ，
所以预测年月新能源渗透率为
设店月份发放给销售员工资总和为 ，
由可知客户购买新能源车的概率为 ，燃油车概率为 ，设辆车中新能源车为 辆，则燃油车为 辆．
， ，
由题意可得，该店销售员的总提成为
因此
即店月份发放给所有销售员工资总和的期望为元．

【解析】本题主要考查回归直线方程、函数模型的应用等，属于中档题．
先计算得 ， ， 然后利用已知公式计算得到回归直线方程，然后代入即可；
先利用二项分布得到辆车中新能源车辆数的期望，然后利用函数模型即可．
18.【答案】解：由题意有： ，
所以点的轨迹为椭圆，其中 ，则 ，所以点的轨迹为椭圆：
，
设直线的斜率为 ，则直线的方程为： ．
，解得： ，
所以 ，同理 ，
所以 ，即 ，
由题意有：
，
令 ，则 ．
令 ，则 ．
所以 在 上单调递增．
当 时， ，所以 的最小值为

【解析】本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题、直线与椭圆的位置关系等，属于较难题．
利用椭圆的定义判断，并求出椭圆方程即可；
列出直线的方程为： 然后与椭圆方程联立，即可求解；
结合三角形面积公式
，求导解决即可．
19.【答案】解：由 ，得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ．
不存在．假设存在，设，，，公比为，
若，则，，，公比 ， ，矛盾．
若，则，，，公比 ， ，矛盾．
假设不成立，故不存在．
由题意，，且，，，，
设 ， ， ，得 ，进一步得到 ，显然 的值从大到小依次为 ，
若 ，则 ，当 或 可以取得．
因此 ，所以 ，
，
又，所以

【解析】本题主要考查数列的递推公式、等比数列的判定等，难度较大．
利用已知数据直接求出即可；
分两种情况讨论即可；
先设 ，然后分析出 ，，，然后求出的最大值即可．
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