04直线的方程-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（含解析）

04直线和圆的方程（直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的交点坐标） -北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）
一、单选题
1．（2024上·北京丰台·高二统考期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·北京东城·高二统考期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知直线.则下列结论正确的是（ ）
A．点在直线上 B．直线的倾斜角为
C．直线在轴上的截距为8 D．直线的一个方向向量为
5．（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知直线过点，且倾斜角是，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024上·北京平谷·高二统考期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·北京顺义·高二统考期末）直线l：的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·北京顺义·高二统考期末）已知直线：，：.若，则实数（ ）
A．0或 B．0 C． D．或2
9．（2024上·北京石景山·高二统考期末）已知直线，直线.若，则实数（ ）
A． B． C． D．3
10．（2024上·北京丰台·高二统考期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024上·北京平谷·高二统考期末）圆心为，且与直线相切的圆的半径为（ ）
A． B．2 C．8 D．
12．（2024上·北京房山·高二统考期末）两条直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024上·北京大兴·高二统考期末）两条平行直线与间的距离等于（ ）
A． B．1 C． D．2
14．（2023上·北京·高二校考期末）已知点，直线：，则点到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．（2023上·北京顺义·高二统考期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．2
二、填空题
16．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
17．（2024上·北京石景山·高二统考期末）直线与直线之间的距离为 .
18．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）两条直线与之间的距离是 .
19．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知直线和直线平行，那么 .
20．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知直线和直线互相垂直，则的值是 .
21．（2023上·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 .
22．（2022上·北京昌平·高二统考期末）已知直线.若，则实数 .
23．（2023上·北京东城·高二统考期末）两条直线与之间的距离是 .
三、解答题
24．（2022上·北京怀柔·高二统考期末）已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.
(1)过点；
(2)与直线垂直.
25．（2024上·北京石景山·高二统考期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
26．（2022上·北京房山·高二统考期末）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程.
(2)求边上的高所在直线的方程.
27．（2023上·北京海淀·高二统考期末）已知直线与直线交于点，点关于坐标原点的对称点为，点在直线上，点在直线上．
(1)当时，求点的坐标；
(2)当四边形为菱形时，求的值．
28．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知的三个顶点分别为．
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
(2)求边上的高线的长．
29．（2021上·北京·高二校考期末）设点关于轴的对称点为，求过点且与直线垂直的直线的方程．
30．（2023上·北京房山·高二统考期末）已知的边AC，AB上的高所在直线方程分别为﹐顶点．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求BC边所在的直线方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，求得直线的斜率为，进而求得直线的倾斜角，得到答案.
【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，所以.
故选：B.
2．A
【分析】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】因为直线，，
所以当时，，即，即或，
所以“”能推出“”，“”不能推出“”，
所以“”是“”充分不必要条件，
故选：A.
3．A
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】由，化简得，
所以直线的斜率，又因为直线的倾斜角，
所以，得，故A正确.
故选：A.
4．B
【分析】逐个分析各个选项.
【详解】对于A项，当，时， 代入直线方程后得，∴点不在直线l上，故A项错误；
对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴，又∵，∴，故B项正确；
对于C项，令得：，∴直线l在y轴上的截距为，故选项C错误；
对于D项，∵直线l的一个方向向量为，∴，这与已知相矛盾，故选项D错误.
故选：B.
5．D
【分析】根据题意，求出直线方程，画出图象，结合图象得到答案.
【详解】直线过点，且倾斜角是，
所以直线斜率，
所以直线方程为，即，
画出直线图象为
结合图象可知，直线不过第四象限，
故选：D.
6．C
【分析】先求直线的斜率，根据公式求倾斜角.
【详解】直线方程可化为，所以直线的斜率为：，即，
又，所以.
故选：C
7．B
【分析】根据斜率即可求解倾斜角.
【详解】直线的斜率为1，故倾斜角为，
故选：B
8．B
【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，直线：，：，满足，
当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，
综上，.
故选：B
9．D
【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解.
【详解】因为，所以，得.
故选：D
10．B
【分析】根据题意画出图形，再确定出使的位置.然后求出值即可
【详解】由直线，和围成,如图所示，
点在内（含边界）运动，

在轴上运动，作点关于轴的对称点，则，
的最小值为到直线的距离，即.
故选：B.
11．A
【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意知，圆心为，且与直线相切，
则圆的半径为.
故选：A.
12．C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得.
故选：C
13．A
【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.
【详解】两条平行直线与，
由两平行线间的距离公式可知，所求距离为．
故选：A．
14．D
【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】已知点，直线，则点到直线l的距离,
故选：.
15．A
【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案.
【详解】直线与直线的交点为，
所以.
故选：A.
16． 答案不唯一（只需写出中的一个即可）
【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.
【详解】解方程组，得，所以与的交点坐标为；
由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形，
只需经过，或与平行，或与平行.
当经过时，图1所示，，；
当与平行时，图2所示，，；
当与平行时，图3所示，，.
故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.

图 1

图 2

图 3
17．
【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】直线，
则与之间的距离.
故答案为：
18．
【分析】由两条平行线的距离公式求解即可.
【详解】由两条平行线的距离公式可得：.
故答案为：.
19．或
【分析】利用两直线平行的斜率关系即可求得或.
【详解】易知直线的斜率一定存在，且为，
由两直线平行可得，解得或；
经检验或都符合题意；
故答案为：或
20．
【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值.
【详解】由于两条直线垂直，
所以.
故答案为：
21．
【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.
【详解】因为，所以线段的中点，且.
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.
故答案为：
22．6
【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.
【详解】由于，所以，解得
故答案为：6
23．
【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.
【详解】由平行直线间距离公式可得：之间的距离.
故答案为：.
24．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用两点式写出直线的方程；
（2）先求出直线的斜率，由点斜式写出直线的方程.
【详解】（1）直线经过，两点，
由两点式得直线的方程为.
（2）与直线垂直
直线的斜率为
由点斜式得直线的方程为.
25．(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为
(2)
【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程；
（2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案.
【详解】（1）由菱形的性质可知，则.
所以边所在直线的方程为，即；
边所在直线的方程为，即.
（2）线段的中点为，
由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，
所以对角线所在直线的方程为，即.
26．(1)
(2)
【分析】（1）先求出线段的中点为的坐标，再利用两点式求出中线所在直线的方程；
（2）先求出的斜率，可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程．
【详解】（1）解：三个顶点坐标分别为，，，
线段的中点，则中线所在直线的方程为，
即；
（2）解：由于直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，
故边上的高所在直线的方程为，即．
27．(1)
(2)
【分析】（1）当时，联立直线、的方程，求出点的坐标，再利用对称性可得出点的坐标；
（2）求出点的坐标，设点，求出点的坐标，根据点在直线上可得出，由菱形的几何性质可得出，根据斜率关系可得出关于的等式，即可得解.
【详解】（1）解：当时，直线的方程为，联立可得，即点，
因为点关于坐标原点的对称点为，故点的坐标为.
（2）解：若，则，不合乎题意，所以，，
联立可得，即点，
设点为坐标原点，则，
设点，因为四边形为菱形，且的中点为，则的中点为，
所以点，因为点在直线上，所以，，则，即点，
所以，，
由菱形的几何性质可知，所以，，解得.
28．(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；
（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.
【详解】（1）设的坐标为，则，，
即，所以 ，
则中线所在直线方程为，即 ．
（2）由题意得 ．
则直线的方程为，即
中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ．
29．
【分析】求出点的坐标以及直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】易知点的坐标为，直线的斜率为，故直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据的边AC的高所在直线方程为和顶点，得到直线AC的方程，与的边AB上的高所在直线方程联立求解；
（2）利用（1）的方法，再求得顶点B的坐标，然后利用两点式写出直线AB所在的直线方程.
【详解】（1）解：因为的边AC的高所在直线方程为，
所以﹐又顶点，
所以直线AC的方程为，即，
又的边AB上的高所在直线方程为，
由，解得，
所以顶点；
（2）由 的边AB上的高所在直线方程为，
得﹐又顶点，
所以直线AB的方程为，即，
又的边AC的高所在直线方程分别为，
由，解得，
所以顶点；
所以BC边所在的直线方程，即．
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