05圆的方程-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（含解析）

05直线和圆的方程（ 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系）-北京市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）
一、单选题
1．（2024上·北京大兴·高二统考期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·北京·高二校考期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
3．（2023上·北京顺义·高二统考期末）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心，半径 B．圆心，半径
C．圆心，半径 D．圆心，半径
4．（2023上·北京丰台·高二统考期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，2 B．，2 C．，4 D．，4
5．（2023上·北京大兴·高二统考期末）圆的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022上·北京怀柔·高二统考期末）圆的圆心为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022上·北京平谷·高二统考期末）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·北京延庆·高二统考期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·北京海淀·高二统考期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024上·北京东城·高二统考期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024上·北京石景山·高二统考期末）为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
14．（2024上·北京顺义·高二统考期末）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
二、填空题
15．（2024上·北京丰台·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，当取最大值时，的长为 .
16．（2024上·北京平谷·高二统考期末）已知曲线关于直线对称，若直线被曲线截得的弦长为，则 .
17．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知圆．则圆的圆心坐标为 ；若圆与圆内切，则 ．
18．（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程）
19．（2024上·北京延庆·高二统考期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ．
20．（2024上·北京顺义·高二统考期末）已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值 .
21．（2024上·北京·高二人大附中校考期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 .
22．（2024上·北京房山·高二统考期末）已知曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于轴、轴和原点对称；
②当时，曲线共有四个交点；
②当时，
③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；
④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．
其中所有真命题的序号是 ．
23．（2024上·北京石景山·高二统考期末）已知圆的半径为3，则的值为 .
24．（2024上·北京东城·高二统考期末）已知圆，则圆心坐标为 ；半径为 .
三、解答题
25．（2024上·北京丰台·高二统考期末）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设直线与圆交于D，E两点，求四边形的面积.
26．（2023上·北京通州·高二统考期末）已知两点，，直线l：．
(1)若直线经过点A，且，求直线的方程；
(2)若圆心为C的圆经过A，B两点，且圆心C在直线l上，求该圆的标准方程．
27．（2023上·北京房山·高二统考期末）已知圆，点．P是圆C上的任意一点．
(1)求圆C的圆心坐标与半径大小；
(2)求的最大值与最小值．
28．（2022上·北京延庆·高二统考期末）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点，且过点；
(2)过点和点，半径为2；
(3)，为直径的两个端点；
(4)圆心在直线上，且过点和点．
29．（2024上·北京海淀·高二统考期末）已知圆与y轴相切．
(1)直接写出圆心C的坐标及r的值；
(2)直线与圆C交于两点，求．
30．（2024上·北京昌平·高二统考期末）已知圆的圆心为，且过坐标原点.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，
显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，
可得直线方程为，即.
故选：B.
2．D
【分析】本题首先可根据题意得出，则点的轨迹方程为，然后用圆心到点的距离减去半径即可得出结果.
【详解】解：由圆的方程，易知圆心，半径为，
因为是圆的切线，且，
所以，，
所以，点的轨迹方程为，
点到点距离的最小值为，
故选：D.
3．A
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.
【详解】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故选:A.
4．B
【分析】根据圆的标准方程求得.
【详解】根据圆的标准方程得圆心为，半径为
故选：B
5．B
【分析】将圆的一般式化为标准式即得.
【详解】由，可得，
所以圆的半径是，
故选：B.
6．D
【分析】由圆的标准方程求解.
【详解】圆的圆心为，
故选：D
7．A
【分析】将化成，即可求出的最小值．
【详解】由可化为，所以，解得，因此的最小值是．
故选：A．
8．A
【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可.
【详解】易知圆的圆心为原点，半径，
由圆，故其圆心为，半径，
两圆圆心距为，所以两圆相交，
则，如图所示.
故选：A
9．D
【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.
【详解】，圆心，半径，
选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系，
圆心到直线的距离，
当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误；
选项B，由直线可化为，
则直线恒过，因为，点在圆外，
故直线不一定与圆相交，故B错误；
选项C，由直线恒过，点在圆上，
当时，直线方程可化为，
此时圆心到直线的距离，
圆与直线相切，不满足题意，故C错误；
选项D，由直线方程可化为，
则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交，
当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上，
可得，取到最大值；
如图，取中点，则，圆心到直线的距离
，当取最大值时，弦长最短，
即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为
此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确.
故选：D.

10．B
【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为是直径，，
所以原点在圆上，
过作垂直直线，垂足为点，
因为圆与直线相切，
所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径，
点到直线的距离
所以圆的半径的最小值为1.
故选：B
11．C
【分析】由得弦中点到圆心的距离，则点在以为圆心，为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可.
【详解】圆，圆心，，
由是弦的中点，且，则由圆的几何性质，，
所以，
故点在以为圆心， 以为半径的圆上.
又在圆上存在点满足题设，
且其圆心，半径，
则由两圆有公共点，得，即，
解得，或.
故选：C.
12．A
【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解.
【详解】设圆的圆心坐标为，
因为圆的半径为，且过点，可得，
即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆，
可得，则圆上的点到点的最大距离为，
又由切线长公式，可得切线长的最大值为.
故选：A.
13．D
【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线，
可得直线与圆相切或相离，
则满足圆心到直线的距离，解得，即，
所以的最小值为.
故选：D.
14．A
【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系.
【详解】圆：的圆心为，半径为1，
圆：的圆心为，半径为3，
圆心距，故两圆外离.
故选：A
15．
【分析】设圆心到直线的距离为，则，分析可知，当时，此时，取最大值，取最大值，再结合勾股定理可求得的长.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
因为，结合上图及圆的对称性易知：，则，
当时，取最大值，此时，取最大值，且，
此时，.
故答案为：.
16．
【分析】曲线方程化为桂圆的标准方程后得出圆心坐标，代入对称直线方程得值，由弦长得出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得．
【详解】曲线的标准方程是，它表示圆，圆心坐标为，
由题意，解得，即圆心为，半径为，
直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，
所以，解得．
故答案为：．
17．
【分析】第一空：由圆标准方程即可得出圆心坐标.第二空：由几何关系表示出内切即可.
【详解】圆心为，半径；
圆心为，半径；
设两圆的圆心距为，则
由几何关系知两圆内切.
故答案为：；.
18． （答案不唯一，或亦可）
【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程.
【详解】由，即，
故圆的半径为，圆心坐标为，
设直线与圆和圆都相切，
若直线斜率不存在，设直线为，
需有，解得，故符合要求；
若直线斜率存在，设直线为，即，
需有，两式相除得，
故或，
化简得或，
由可得，
故有或，
化简得或，
即或，
则或，
故该直线为或，
即或，
综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有：
、、.
故答案为：；（答案不唯一，或亦可）
19．
【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程.
【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即，
，解得，所以切线方程为.
故答案为：.
20．(答案不唯一)
【分析】运用直线和圆的位置关系直接求解即可.
【详解】已知直线与圆C有两个不同的交点，且设圆心到直线的距离为，化简圆方程得，故有，解得.
故答案为：(答案不唯一)
21．
【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解.
【详解】方法一：设点，
，，，，
由题意可知：，
，，
整理得：，
三点不共线，
，，应去除.
直角顶点的轨迹方程为：.
方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心，
为半径的圆上(不能和B、C重合)，
故A的轨迹方程为.
22．①②③
【分析】①将点代入方程，判断方程是否满足即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断.
【详解】①设点在上，
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；
②联立可得，即或，
当时，都有，即存在交点；
当时，都有，即存在交点；
综上，共有四个交点，正确；
③当时，则，
故，可得，
曲线上任意一点到原点距离
，
当时，
结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离
的最大值是3，正确.
④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，
设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为，
设，则，故，
故，故，故在的内部，
故的面积不大于的面积，故④错误.
故答案为：①②③
23．
【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解.
【详解】圆的一般方程写成标准方程为，
由圆的半径为可知，，得.
故答案为：
24． 1
【分析】将圆的方程化简为标准方程，即可求圆心和半径.
【详解】将圆的一般方程，化简为圆的标准方程为
，
即圆的圆心为，半径为1.
故答案为：；
25．(1)
(2)30
【分析】（1）设，由可得a值，则圆心坐标可求，再利用两点之间的距离公式求半径即可得圆的标准方程；
（2）先证得四边形是平行四边形，再结合点到直线的距离公式以及圆的性质可得答案.
【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设，
由A，B是圆上两点，所以，
即，解得，
所以圆心的坐标为.
圆的半径，
故圆的方程为.
（2）过点作的垂线，垂足为，则为线段的中点，
由点到直线的距离公式，得，
所以.
因为，，所以，
直线的方程为.
而直线的方程为，所以，且，
由此得四边形是平行四边形.
因为，之间的距离，
所以平行四边形的面积为，
故四边形的面积为30.
26．(1)
(2)
【分析】(1)根据直线，设直线的方程为：，再利用直线过点，将点的坐标代入即可求出结果；
(2)根据圆的性质可知：圆心必在弦的垂直平分线上，又因为圆心C在直线l上，联立两直线方程求出圆心坐标，再利用圆心到圆上一点的距离等于半径即可求出半径长，进而求得圆的标准方程.
【详解】（1）因为直线，直线l：，
设直线的方程为：，因为直线经过点，
所以，解得：，
所以直线的方程为：.
（2）因为，，所以的中点，
则的中垂线方程为：，
由圆的性质可得：圆心在的中垂线上，又因为圆心C在直线l上，
所以联立方程组：，解得：，
圆的半径，
所以所求圆的标准方程为：.
27．(1)圆心为，半径
(2)最大值、最小值分别为100、20.
【分析】（1）写出圆C的标准方程，即可确定圆心和半径；
（2）设，则有，问题转化为求的范围，即圆上点到原点O距离平方的范围，即可得结果.
【详解】（1）由题设，故圆心为，半径；
（2）令，则，
而为圆上点到原点O距离的平方，
所以，只需确定的范围，即可确定的最值，
因为，故，
所以的最大值、最小值分别为100、20.
28．(1)
(2)或；
(3)
(4)
【分析】（1），利用两点间额距离公式即可求解；
（2）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可；
（3）的中点坐标为，即圆心为，由此再求半径即可求解；
（4）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可；
【详解】（1）由题意可得，
所以圆的标准方程为；
（2）设圆的标准方程为，
因为圆过点和点，
所以，解得或，
所以圆的标准方程为或；
（3）因为的中点坐标为，即圆心为，
半径，
所以圆的标准方程为；
（4）设圆的标准方程为，
由题意可得，解得，
所以圆的标准方程为
29．(1)圆心，
(2)
【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径；
（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.
【详解】（1）圆，
则圆心，因为圆与y轴相切，则半径.
（2）由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为.
法一：设，
联立，得，
，
则，
所以；
法二：圆心到直线的距离，
则.
故.

30．(1)
(2)或
【分析】（1）依题意，设出圆的方程，代入原点，即可得圆的方程；
（2）根据斜率有无分别设出直线方程，根据，求出直线方程即可.
【详解】（1）设圆的方程为,
依题意，，
所以圆的方程为.
（2）
设圆心到直线的距离为，
由， ，解得.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，满足条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.
可得，解得 ，
此时，直线的方程为.
所以直线的方程为或.
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