1.1 等腰三角形 预习自测 （含简单答案）2023-2024学年北师大版八年级数学下册

1.1 等腰三角形
一、选择题：
1.等腰三角形一边长为，一边长，它的周长是( )
A. B. C. 或 D. 不确定
2.若等腰三角形的顶角为 ，则它的一个底角度数为( )
A. B. C. D.
3.下列三角形：有两个角等于的三角形；有一个角等于的等腰三角形；三个角都相等的三角形；三边都相等的三角形．其中等边三角形是( )
A. B. C. D.
4.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中( )
A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于
C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于
5.用反证法证明“若，则”，应假设 ( )
A. B. C. D.
6.如图，等腰中，点，分别在腰，上，添加下列条件，不能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，平分，若，则等于( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，和的平分线相交于点，过作，交于点，交于点若，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：
11.等腰三角形的一个角为，它的另外两个角的度数分别为______．
12.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______．
13.如图，中，，，是边上的高，则的度数是 ．
14.如图，中，是上一点，若，且，则________．
15.如图，是的对称轴，点，是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是______．
16.如图，在中，，，则________．
17.如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接，，，则的度数是 ．
18.如图，是等边三角形的中线，，则 ．
19.如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是 ．
20.如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于若，则线段的长为_____．
三、解答题：
21.已知，如图，等边中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，且，求证：．
22.如图，已知等腰顶角．
在上作一点，使要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨；
求证：是等腰三角形．
23.如图，在中，，，为的中点，于，求：的值．

24.如图，在中，，是边上的高，过点作交的延长线于点，求证：．
25.如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．
求证：；
过点作垂直，垂足为，若，求的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当腰为时，周长；
当腰长为时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为，这个三角形的周长是．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等，解答此题由顶角为，可知两底角的和为，然后根据两底角相等可得底角的度数．
【解答】
解：等腰三角形的的顶角为，
一个底角为：．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
直接根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】
解：有两个角等于的三角形是等边三角形；
有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
三边都相等的三角形是等边三角形；
其中等边三角形是，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了“反证法”，反证法在进行证明时首先要假设结论不成立，即提出与原结论相反的结论，再进行推理，从而得出矛盾，即可证明．
【解答】
解： b ^{2} "" title="latexImg" />的相反结论即
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形的性质得，，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】
解：为等腰三角形，
，，
当时，则根据“”可判断≌；
当，则根据“”可判断≌；
当，则，根据“”可判断≌．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
由，，可以得到，又由平分，可以推出，，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形性质的应用．
【解答】
解：，，
，
平分，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：过作，
，，
，
在中，，，
，
，
则．
故选：．
过作垂直于，利用三线合一得到为中点，求出的长，在直角三角形中，利用度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由求出的长即可．
此题考查了等腰三角形的性质，以及含度直角三角形的性质，熟练掌握度直角三角形的性质是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】分析
延长，交于，由易证得出，，，求出，，则，得出是等腰三角形，那，由三角形内角和定理及平角可得，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与等腰三角形的定义是解题的关键．
详解
解：
如图所示，延长，交于，
平分，，
，，
在和中，
，
，，，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
．
又．
．
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，交于点，交于点．
，，
，，
，，
．
故选：．
根据中，和的平分线相交于点求证，，再利用两直线平行内错角相等，求证出，，则可推出，，即，，然后利用等量代换即可求出线段的长．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质、平行线的性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．
11.【答案】，
【解析】解：等腰三角形的一个角为，
的角是顶角，
另两个角是，
即，．
故答案为：，．
先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意的角只能是顶角．
12.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
当三边是，，时，能构成三角形，则周长是；
当三边是，，时，能构成三角形，则周长是．
所以等腰三角形的周长为或．
故答案为或．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题．根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得的度数．
【解答】
解：，，
，
是边上的高，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【解答】
解：，
，，
设，
，
，
，
在中，
，
，
解得：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键．
由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【解答】
解：，是的对称轴，点，是的三等分点，
阴影部分面积
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，再根据三角形外角的性质可求出的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
【解答】
解：，，
，
是的外角，
，
，
．故答案为．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．根据三角形的内角和得出，根据等腰三角形两底角相等得出，最后根据求解即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由是等边三角形的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得，，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案．
【解答】解：是等边三角形的中线，
，，
．
，
，
．
19.【答案】
【解析】解：如图，连接，与交于点，此时最小，
是等边三角形，，
，
，
即就是的最小值．
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，
即可解决问题；
本题考查的是最短路线问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明，是等腰三角形，由、的平分线相交于点，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可求得结论．
【解答】
解：、的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
即．
．
故答案为．
21.【答案】证明：在等边中，，，
．
在和中，
≌，
．
【解析】先根据等边中，，，得出，再根据即可判定≌，进而得出结论．
本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
22.【答案】解：如图，点为所作；
证明：，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】作的垂直平分线交于；
利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再利用得到，所以，从而可判断是等腰三角形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
23.【答案】解：如图，连接，，，为的中点，
，，
，
，
，
设，
在中，，
在中，，
，
：：．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质，正确得出是解题关键．
直接连接，再利用等腰三角形的性质结合含度角的直角三角形的性质得出答案．
24.【答案】证明：，是边上的高，
．
，
．
．
．
，
．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
先根据等腰三角形的性质，得到，再根据平行线的性质，得到，最后根据等量代换即可得出结论．
25.【答案】解：证明：如图，
是等边三角形，是中线
等边三角形三线合一

又
等角对等边
如图，，由知，
垂直平分
的周长．
【解析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．
根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．
由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出．