1.1锐角三角函数 预习自测（含解析） 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

1.1锐角三角函数
一、选择题：
1.在中，各边都扩大倍，则角的三角函数值( )
A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 不能确定
2.已知中，，，，那么下列各式中，正确的是．( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，若，，则的值是( )
A. B. C. D.
4.中，，，，那么等于( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，于点，若，则等于( )
A. B. C. D.
8.在正方形网格中，如图放置，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：
11.在中，，，，则_______．
12.如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______
参考数据：，，
13.如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为________．
14.如图，旗杆高，某一时刻，旗杆影子长，则______．
15.在中，，若，则______．
16.在中，，，，则值是______．
17.正方形网格中，如图放置，则的值为 ．
18.如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，使点落在射线上，则的值为______．
19.如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，、、、均在格点上，当菱形的边长为且时，则有 ； ．
20.如图，在中，，，，是边上一动点，是边上的一动点，则的最小值为______．
三、解答题：
21.如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，则矩形的面积是____．
22.如图，在中，，是直角边上一点，于点，，，求的值．
23.如图，在矩形中，，，点是对角线上的一点，把沿着直线翻折得到，且点恰好落在边上，连接．
求的周长；
求的值．
24.如图，中，，是边上的中线，分别过点，作，的平行线交于点，且交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，求的值．
25.如图，点是正方形边上一点，过作，交于，连结，是的中点，过作交于点．
连接，，求证：．
若，
若，，求的长；
连结，求的值用含的代数式表示
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．
易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】
解：各边都扩大倍，
新三角形与原三角形的对应边的比为：，
两三角形相似，
的三角函数值不变，
故选A．
2.【答案】
【解析】解：由勾股定理知，，
，，．
故选C．本题考查了锐角三角函数的定义在中，根据勾股定理就可以求出斜边，根据三角函数的定义就可以解决．
3.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据余弦的定义解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．
【解答】
解：在中，，，，
，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，，
．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出的值．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．
分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出，然后根据正弦和余弦的定义即可求和的值，进而可求出的值．
【解答】
解：小正方形面积为，大正方形面积为，
小正方形的边长是，大正方形的边长是，
在中，，
即，
整理得，，
解得，舍去，
，
，，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长，先根据题意得出∽，然后根据：：，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而可得出结论．
【解答】
解：中，，
．
于点，
，，
，，
∽，
，即，
：：，
设，则，
，
．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理及逆定理的应用；熟练掌握在网格中利用勾股定理求边长是解题的关键．
连接，利用网格可求，，，在中，利用锐角三角函数的定义即可求到的值．
【解答】
解：连接，
由网格，根据勾股定理可知：
，，，
，
即，
是等腰直角三角形，
，
故选．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键 连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：设每个小正方形的边长为连结，如图，
，，，
，
是直角三角形，且，
，，
所以，
故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质及动点问题的函数图象，认真读懂函数图象是解题的关键，首先根据函数的图象可以看出的面积最大为，结合点的运动情况可知当点与点重合时为面积最大，所以可设为，则根据直角三角形的性质可以用含有的代数式表示和的长度，根据最大面积求出的值，再根据直角三角形的性质即可得出的长度．
【解答】
解：由函数图象可知，的最大面积是，此时点与点重合，
在中，，
设，
，
则，
，
当为最大面积时，，
解得，
，，
在中，，
，
，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根据锐角三角函数定义求锐角的三角函数值，勾股定理．由勾股定理求，再利用的正弦定义求值即可．
【解答】
解：在中，，，，
，
，
故答案为
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义求出三角形边长是解题的关键．
在中，由的长及的值可得出的长，即可解答．
【解答】
解：如图：
，，
，
木杆折断之前高度约为：
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理及其逆定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：连接，
，，，，
是直角三角形，且，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：旗杆高，旗杆影子长，
，
故答案为：
根据三角函数解答即可．
此题考查解直角三角形，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示各边长是解题关键．
直接根据题意用表示出、，再利用勾股定理算出，进而利用锐角三角函数的定义得出答案．
【解答】
解：如图所示：
，，
设，则，故AB，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得出，即，即可得出的值．
【解答】
解：，即，
，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握锐角三角函数的定义．
根据正切定义，进行计算即可．
【解答】
解：如图，过点作于点，
由图可知，，
．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系，得出是解题关键．利用勾股定理逆定理得出是直角三角形以及锐角三角函数关系进而得出即可．
【解答】
解：如图所示：连接，，
由网格利用勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
则，
，
故答案为．
19.【答案】

【解析】【分析】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判断和性质，直角三角形的判定和性质等，勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，解题的关键是会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．解题时，连接，，先证明是等边三角形，得出，然后根据勾股定理求出，再根据三角函数定义即可求出的值．
【解答】
解：如图，连接，．
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为；．
20.【答案】
【解析】解：如图，作点关于的对称点，过点作于，交于点，则的长即为的最小值，连接交于点，则，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查轴对称最短问题，直角三角形度角性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，过点作于，交于点，则的长即为的最小值；
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；

【解析】【分析】
本题考查的是菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质有关知识．
根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的判定定理得到≌，求得矩形的面积菱形的面积，根据等腰三角形的性质得到结论
【解答】
见答案；
解：，，，
≌，
矩形的面积菱形的面积，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
矩形的面积菱形的面积．
故答案为．
22.【答案】解：，，
，
又，
∽，
，
设，，
由勾股定理得，
在中，．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义易证∽，根据相似三角形的对应边成比例可得，设，，利用勾股定理得到，即可根据余弦的定义得到答案．
23.【答案】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，由勾股定理得，
由轴对称性质可得，，
的周长．
作于点，
，
，
，
，解得，
在中，，由勾股定理得，
在中，，
．
【解析】【分析】
本题考查矩形的性质，折叠与对称，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，锐角三角函数的定义．
先根据矩形的性质和勾股定理求得长，再根据轴对称性质可得，即可解答；
作于点，先根据等腰三角形的性质得，再利用面积法求，最后根据锐角三角函数的定义即可解答；
24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，
又是边上的中线，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
，是斜边上的中线，
，
四边形是菱形；
解：过点作于点，
由可知，，
设，则，
在中，
，
，
．
【解析】此题考查了菱形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
由，，可证得四边形是平行四边形，又由中，，是边上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，然后由，证得四边形是平行四边形，继而证得四边形是菱形；
首先过点作于点，由可知，，设，则，然后由勾股定理求得，再由三角形的面积，求得的长，由勾股定理即可求得的长，继而求得答案．
25.【答案】解：垂直平分，
．
又正方形关于轴对称，
，
．
，，
，，．
过点作的垂线交于点，由知，
垂直平分线段，
，．
在中，．
点是的中点，
．
在中，．
证明：设．
，
，
，．
由知．
易证，
，
．
【解析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数值的求法，全等三角形的判定和勾股定理等相关知识理解这些知识是解答关键．
利用垂直平分线的性质和正方形的性质求解；
过点作的垂线交于点，利用垂直平分线的性质、勾股定理和正方形的性质求解；
先证明，利用全等三角形的性质和锐角三角函数值的求法求解．