广东省汕头市2009年高中毕业生学业水平考试
文科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．
4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件、互斥，那么.
第一部分 选择题
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1．设全集U＝{0,1,2,3,4},集合A＝{1,2},则UA等于（ ） A．{0,3,4} B {3,4} C．{1,2} D．{0,1}
2．在△ABC中，是△ABC为等腰三角形的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x 2－y 2=2 B．x 2－y 2= C． x2－y2=1 D．x 2－y 2=
4．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为。若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是（ ）
A．3i B．4i C．5i D． -5i
5．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面；
③若平面；
④若平面内的三点A、B、C到平面的距离相等，则.
其中正确命题的个数为（ ）个。
A．0 B．1 C．2 D．3
6．记等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A． B．5 C． D．33
7． 已知一个程序框图如右图所示，若输入，
则该程序运行的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．15
8．一个多面体的三视图如图所示，则它的表面积是 （ ）
A．(1+)a2 B．(2+)a2
C．(1+2)a2 D．(3+)a2
9．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ）.
A． B．
C． D．
10．已知P是椭圆上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须作答．
11．命题：， f(x)≥m．则命题的否定是： ．
12．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为 万只．
13．已知，则的值等于： ．
（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算第14题的得分．
1４．（坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是：___________________(判断垂直或平行或斜交)。
15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙中的弦与直径相交于，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，若，则的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分）
已知函数。
（1）若，，求函数的值；
（2）将函数f(x)的图像向右平移m个单位，使平移后的图像关于原点对称，若017. （本小题满分12分）
田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜。若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c。
（1）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
（2）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马。那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大?
18．（本小题满分14分）
在等比数列{an}中，，公比，且，a3与a5的等比中项为2。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。
19. （本小题满分14分）
如图，已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．
(1)求证：不论为何值，总有EF⊥平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
20. （本小题满分14分）
如图，圆A的方程为：，定点，动点为圆A上的任意一点。线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，
（1）求的值，并求动点的轨迹方程；
（2）设Q点的横坐标为x，记的长度为，求函数的值域。
21．（本小题满分14分） （参考公式：）
设函数，
（1）令，判断并证明在（-1，+∞）上的单调性，求；
（2）求在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数、满足，使得在区间上的值域也为？
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文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
C
B
D
B
D
D
B
二、填空题：本小题11、12、13题必答， 14、15小题中选答1题，共20分.
11． , f(x)＜m；12． 90 ； 13．3； 14．垂直 ；15．。
解答提示：
3．解：设等轴双曲线为x2－y2=a2（a>0），
∵焦点到渐近线距离为，∴a=。
4．解：由几何意义得解。
5．解：只有命题②正确。
6．解：∵， ∴，∴
∴ ∴，故选D．
7．解：当n=6，s=0时，有s=6，n=5；
当n=5，s=6时，有s=11，n=4；
当n=4，s=11时，有s=15，n=3；
故输出n的值是3．
8．解：该几何体如图；
可得表面积S=(3+)a2 。
9．解：由勾股定理知为直角三角形。所以，
图中阴影部分的面积为的面积减去半径为1的半圆的面积，有，
所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为。
10．解: 由，得，∴，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
由得r1r2= 4，
12．解：平均每月注射了疫苗的鸡的数量为万只。
13．解：，=3。
14．解：两直线分别过点和，前后两点连线显然垂直。
法二：两直线化为普通方程是
其斜率乘积，故两直线垂直。
15．解：由圆的相交弦定理知，
∴，
由圆的切割线定理知，
∴。
三、解答题：
16．解：（1） ， ……………3分
f(x) 。 ……… 6分
（2） ， …… 9分
∴把的图像向右平移个单位，得到的图像，
其图像关于原点对称， …………… 11分
故m= 。 ……………12分
17．解：记A与a比赛为（A，a），其它同理.
（1）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（A，a）、（B，b）、（C，c）； （A，a）、（B，c）、（C，b）；
（A，b）、（B，c）、（C，a）； （A，b）、（B，a）、（C，c）；
（A，c）、（B，a）、（C，b）； （A，c），（B，b）,（C，a） ……………4分
其中田忌获胜的只有一种：（A，c）、（B，a）、（C，b）
∴田忌获胜的概率为。 ……………………6分
（2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败。
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c。 ……………8分
后两场有两种情况：
①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）、（C，b）或（B，b）、（C，a）.
田忌获胜的概率为。 ……………………10分
②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：
（C，a）、（B，b）或（C，b）、（B，a）.
田忌获胜的概率也为.
∴田忌按c、a、b或c、b、a的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大。 .………………12分
法二：各种对阵情况列成以下表格：
A
B
C
1
a
b
c
2
a
c
b
3
b
a
c
4
b
c
a
5
c
a
b
6
c
b
a
……………4分
其中田忌获胜的只有第5种这一种情况，
∴田忌获胜的概率为。 ……………………6分
（2）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c， ……………8分
即只能是第5、6种情况，其中田忌获胜的只有第5种，
∴田忌按c、a、b或c、b、a,才能使自己获胜的概率达到最大。 .………12分
18. 解：（1），
又， …………………………………………3分
又的等比中项为2，，
而， ………………………………5分
， ……………………………7分
（2）， ，
为首项，－1为公差的等差数列。 …………… 9分
， ……………11分
；当；当，
最大。 …………………………14分
19.(1)证明：∵⊥平面
∴ ……………1分
又在中，
∴ ……………2分
又
∴⊥平面 ……………3分
又在中，、分别是、上的动点，且
∴不论为何值，都有 ……………5分
∴⊥平面 ……………6分
(2) 解：
在，，
∴ ……………7分
又⊥平面
∴， ……………8分
又在中，
∴ ……………9分
由(1)知⊥平面
∴
故三棱锥的体积是． ……………14分
20．解：（1）连接，由已知，得，
所以， ……………3分
又 ， 。
根据椭圆的定义，点的轨迹是为焦点，以10为长轴的椭圆。
2a=10 , 2c=6 , ∴b=4 ,
从而点的轨迹方程为： ……………7分
（２）由已知得，所以 ……………9分
又点的轨迹方程为：，即代入上式消去得
== ……………12分
由，所以，所以的值域为。 ……14分
21. 解：（1）当时，， ……………2分
所以在（-1，+∞）上是单调递增， ……………3分
。 ……………4分
（2）的定义域是（-1，+∞），
， ……………6分
当时，<0, ∴， ……………7分
当时，>0, ∴， ……………8分
∴在（-1，0）上单调递减，在（0,+∞）上，单调递增。 …9分
∴ . ……………10分
（3）由（2）知在上是单调增函数。
若存在满足条件的实数、，
则必有，。 ……………11分
也即方程在上有两个不等的实数根、， ……………12分
但方程即为只有一个实数根， ……………13分
∴不存在满足条件的实数、。 ……………14分
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理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．
4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．
参考公式：
如果事件、互斥，那么
如果事件、相互独立，那么．
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率为．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1．定义，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x2－y2=1 B．x 2－y 2=2 C．x 2－y 2= D．x 2－y 2=
3．记等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A． B．5 C． D．33
4．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面；
③若平面；
④若平面内的三点A、B、C到平面的距离相等，则.
其中正确命题的个数为（ ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3
5．从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）
A．100种 B．400种 C．480种 D．2400种
6．在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知的外接圆半径为R，角、、的对边分别为、、，且那么角的大小为（ ）
A． ; B． ; C．; D．
8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，
则能输出数对（x，y）的概率为（ ）
A． B．
C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分.
（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须作答．
9．命题：， f(x)≥m．则命题的否定是： ．
10．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为 万只．
11．已知，则的值等于： ．
12．若与复数对应的向量为，与复数对应的向量为，则与的夹角等于： ．
（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．
13．（坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是：___________________(判断垂直或平行或斜交)。
14．（不等式选讲选做题）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数的取值范围是___________________.
15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙中的弦与直径相交于，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，若AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，，求函数的值；
（2）将函数f(x)的图像向右平移m个单位，使平移后的图像关于原点对称，若017．（本小题满分12分）
在等比数列{an}中，，公比，且，a3与a5的等比中项为2。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。
18．（本小题满分14分）
某电台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分，总得分不少于30分即可过关。如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是，回答第三题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响。记这位挑战者回答这三个问题的总得分为。
（1） 这位挑战者过关的概率有多大？
（2） 求的概率分布和数学期望。
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，直线l： 与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切。
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2 ，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直直线于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程。
（3）若、、是C2上不同的点，且，求y0的取值范围。
20．（本小题满分14分）
如图，已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．
（1）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；
（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值。
21．（本小题满分14分）
设函数 ．
（1）令，判断并证明在（-1，+∞）上的单调性，求；
（2）求在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数、满足，使得在区间上的值域也为？
汕头市200９年普通高校招生模拟考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
D
B
B
C
二、填空题：本小题9—12题必答，13、14、15小题中选答2题，若全答只计前两题得分，共30分.
9．, f(x)＜m； 10．90 ； 11．3 ；12． ；
13．垂直； 14． ； 15． 。
解答提示：
2．解：设等轴双曲线为x2－y2=a2（a>0），
∵焦点到渐近线距离为，∴a=。
3．解：∵， ∴
∴，∴，∴．
4．解：只有命题②正确。
5．解：有２男２女和三男一女两种情况，
＝2400种．
6．解：，∴r=3，9时，该项为有理项
，∴ 。
7．解：由正弦定理得，
由余弦定理有。
8．解： 可行域:的面积为4，圆x2+y2=1的面积为,
由几何概型计算公式得：P=。
10．平均每月注射了疫苗的鸡的数量为万只。
11．解：，=3。
12．解：∵，
∴，
又，
∴，夹角等于。
13．解：垂直。两直线分别过点和，前两点和后两点连线显然垂直。
法二：两直线化为普通方程是
其斜率乘积，故两直线垂直。
14．解：,应有
15．解：由圆的相交弦定理知，
∴，
由圆的切割线定理知，
∴。
三、解答题：
16．解：（1） ， ……………3分
f(x) 。 ………6分
（2）由（1）知 ， …… 9分
的图像向右平移个单位，得到的图像，
其图像关于原点对称， …………… 11分
故m= 。 ……………12分
17．解：（1），
又， ………………………………………………2分
又的等比中项为2，，
而， ………………………………4分
， ……………………………6分
（2）， ，
为首项，－1为公差的等差数列。 ………………………9分
，
；当；当，
最大。 …………………………12分
18．解：（1）这位挑战者有两种情况能过关：
①第三个对，前两个一对一错，得20+10+0=30分， ……… ………1分
②三个题目均答对，得10+10+20=40分， ……… ………2分
其概率分别为， ……… ………3分
， ……… ………4分
这位挑战者过关的概率为
。 ……… ………5分
(2)如果三个题目均答错，得0+0+（-10）=-10分，
如果前两个中一对一错，第三个错，得10+0+（-10）=0分； …… ………6分
前两个错，第三个对，得0+0+20=20分；
如果前两个对，第三个错，得10+10+（-10）=10分； ……… ………7分
故的可能取值为：-10，0，10，20，30，40. ………….8分
， ……… ………9分
………………10分
……… ………11分
……… ………12分
又由（1），，
∴的概率分布为
-10
0
10
20
30
40
………………13分
根据的概率分布，可得的期望，
………14分
19．解：（1），∴, ∴2a2=3b2 ……….2分
∵直线l:与圆x2+y2=b2相切，
∴=b，∴b=，b2=2， …….3分
∴a2=3. ∴椭圆C1的方程是 …………. 4分
（2）∵|MP|＝|MF2|，
∴动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它的定点F2（1，0）的距离. …5分
∴动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线， ………….6分
∴ ，p=2 ， ………….7分
∴点M的轨迹C2的方程为。 .………….8分
（3）由（1）知A（1，2），，y2≠2，①
则， ………….10分
又因为 , ，
整理得， ………….12分
则此方程有解，
∴解得或， ………….13分
又检验条件①：∵y2=2时y0=-6,不符合题意。
∴点C的纵坐标y0的取值范围是 ………….14分
20．解法一：（向量法）：
过点作
∵⊥平面
∴⊥平面
又在中，
∴
如图，以为原点，建立空间直角坐标系． ………….1分
又在中，，
∴
又在中，
∴
则 ………….3分
（1）证明：∵
∴
∴
∴
又
∴⊥平面 ………….6分
又在中，、分别是、上的动点，
且
∴不论为何值，都有
∴⊥平面
又平面
不论为何值，总有平面⊥平面 ………….8分
（2）∵，∴,
∵，∴，
又∵， ，
设是平面的法向量，则 .………….10分
又，,∵=(0,1,0),
∴
令得
∴， ………….12分
∵ 是平面的法向量，平面与平面所成的二面角为，
∴
∴，
∴或（不合题意，舍去），
故当平面与平面所成的二面角的大小为时．…….14分
（2）解法二：∵，∴ ,
设E（a,b,c）,则，
∴a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,
∴)。
其余同解法一
（2）解法三：设是平面的法向量，则，
∵
∴
∴
又在中，，
∴
又在中，
∴
∴
又，且
∴
∴
∴
又
∴
∴ ……………10分
∴
令得
∴ …………12分
其余同解法一
解法四：（传统法）：
（1）证明：∵⊥平面
∴ ………….1分
又在中，
∴ ………….2分
又
∴⊥平面 ………….3分
又在中，、分别是、上的动点，
且
∴ ………….4分
∴⊥平面 ………….5分
又平面
∴不论为何值，总有平面⊥平面． ………….6分
（2）解：作BQ∥CD，则BQ⊥平面，
∴BQ⊥BC，BQ⊥BE，
又BQ与CD、EF共面，∴平面与∩平面＝BQ，
∴∠CBE平面与平面所成的二面角的平面角，为，∴
∴① ………….9分
又
∴
在内作交于
则
又在中，，
∴
又在中，
∴
∴② ………….11分
又，且
∴③
由①②③得
∴ ………….13分
∴或（不合题意，舍去）
故当平面与平面所成的二面角的大小为时． ………….14分
解法五：，在内作交于，连结．则，
∵⊥平面
∴⊥平面，⊥平面
∴是在平面上的射影
又∵⊥平面
∴⊥平面 ………….8分
设平面与平面所成的二面角的大小为，则
∴ ………….9分
其余同解法四。
解法六：由得解.
21. 解：（1）当时，， ……………2分
所以在（-1，+∞）上是单调递增， ……………3分
。 ……………4分
（2）的定义域是（-1，+∞），
， ……………6分
当时，<0, ∴， ……………7分
当时，>0, ∴， ……………8分
∴在（-1，0）上单调递减，在（0,+∞）上，单调递增。 …9分
∴ . ……………10分
（3）由（2）知在上是单调增函数。
若存在满足条件的实数、，
则必有，。 ……………11分
也即方程在上有两个不等的实数根、， ……………12分
但方程即为只有一个实数根， ……………13分
∴不存在满足条件的实数、。 ……………14分
