9.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时课件(共20张PPT) 华东师大版七年级数学下册

(共20张PPT)
第九章 多边形
9.1 三角形
9.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时
学习导航
学习目标
合作探究
当堂检测
课堂总结
新课导入
一、学习目标
1. 知道三角形的外角和等于 360°；
2. 掌握三角形外角的两条性质，能利用三角形的外角性质解决简单问题.（重点）
二、新课导入
思考：上节课同学们学习了三角形的内角和为180°，那么请同学们想一想，三角形的外角和该是多少度呢？
1
2
3
4
5
6
B
C
A
问题 1：观察图形：三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢
外角
相邻内角
三角形的外角和它相邻的内角组成一个平角！
三、合作探究
探究一：三角形外角的性质
即：三角形的外角和它相邻的内角互补！
思考：三角形的外角和它不相邻的内角又有着什么关系呢？
问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A + ∠ B有什么关系？
提出猜想：① ∠ BCD > ∠ A + ∠ B；
② ∠ BCD < ∠ A + ∠ B；
③ ∠ BCD = ∠ A + ∠ B；
某小组提出了如下猜想，请你判断是否正确，并说明理由；
分析：利用三角形内角和定理及平角的性质证明即可；
三、合作探究
证明：猜想 ③ 正确；
在△ ABC 中：∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°
（三角形内角和定理）；
又∠ ACD 是一个平角：即∠ ACB + ∠ DCB = 180°；
故： ∠ A + ∠ B = ∠ DCB （等量代换）；
由上可知：猜想 ③ 正确；
结论：三角形的任一外角等于其不相邻的两内角之和.
三、合作探究
问题3：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A、∠ B 分别有什么关系？
提出猜想： ∠BCD > ∠ A；∠BCD > ∠ B；
分析：利用问题2的结论即可证明；
证明：已知：∠ A + ∠ B = ∠ BCD ；
两边同时减去 ∠A 得：∠ B = ∠ BCD – ∠ A ；
又 ∠ BCD – ∠ A < ∠ BCD；
故：∠ BCD > ∠ B；
同理可证： ∠BCD > ∠ A；
猜想正确！
结论：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
三、合作探究
性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
性质2：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
即：∠ B + ∠ C = ∠ CAD
即：∠ CAD > ∠ B，∠ CAD > ∠ C
归纳总结：三角形外角的性质
三、合作探究
三、合作探究
练一练
1. 在△ABC中，∠B = ∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线，求∠1的度数.
分析：利用三角形的外角的性质 1 即可解答；
解：已知：∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线；
∴ ∠DCB = 35°；（角平分线定义）
∵ ∠1 是△ BCD的外角；
∴ ∠1 = ∠B +∠DCB = 105°（三角形的外角的性质）.
A
B
C
D
1
2. 如图，已知在△ABC中， ∠A = 40°，∠1 = ∠2 且 PB、PC是角平分线，求：∠ACD的度数？
分析：利用三角形角平分线及外角的性质即可解答；
解：已知：PB、PC是角平分线，且∠ 1=∠2；
∴ ∠ ABC = 2 ∠ 1；∠ ACB = 2 ∠2 ；（角平分线的性质）
∴ ∠ ABC = ∠ ACB （等量代换）
∵ ∠A = 40°； ∴ ∠ ABC = ∠ ACB = 70°；（三角形内角和定理）
∴ ∠ ACD = ∠A+ ∠ ABC = 110°（三角形外角的性质）
A
B
C
P
D
1
2
三、合作探究
三、合作探究
3. 如图，用“ > ”连接 ∠1、∠2、∠3、∠4 为 .
【提示】根据三角形外角的性质 2 解答即可；
∠3 ＞ ∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠4
探究二：三角形的外角和
问题提出：前面我们已经知道了三角形的内角和为180°，那么三角形的外角和为多少？
问题探究：在 △ABC 中，有 个外角；
6
不是
规定：每个内角只取一个与其相邻的外角相加，它们的和即是外角和；
如：△ABC 的外角和为：∠1 + ∠3 + ∠5 或 ∠2 + ∠4 + ∠6 .
三、合作探究
1
2
3
4
5
6
B
C
A
思考：三角形的外角和是6个外角相加的和吗？
问题解决：三角形的外角和为 ∠1 + ∠3 + ∠5；
由图可知：∠1 + ∠BAC = 180°；
∠3 + ∠ABC = 180°；
∠5 + ∠BCA = 180°；
则：∠1 + ∠BAC + ∠3 + ∠ABC + ∠5 + ∠BCA = 3×180°；
又：∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°；
故：∠1 + ∠3 + ∠5 = 360°；
三、合作探究
1
3
5
B
C
A
结论：三角形的外角和为360°.
易错点：三角形的外角和是分别取
与内角相邻的一个外角相加的和.
三、合作探究
练一练
分析： ∵∠1、∠2、∠3 分别是△ABN、△CDP、△EFM的外角；
∴ ∠1 = ∠A + ∠B，∠2 = ∠C + ∠D，∠3 = ∠E + ∠F；
∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 ；
又 ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 是 △PMN 的外角和；
∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360°
4. 如图，试求出 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ________.
360°
1. 判断下列说法的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和； （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍； （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和； （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角； （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角. （ ）
×
√
×
×
√
√
四、当堂检测
2. 如图，AB//CD，∠A = 37°，∠C = 63°，那么 ∠F 等于（ ）
A. 26° B. 63° C. 37° D. 60°
F
A
B
E
C
D
A
四、当堂检测
3. 如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
解：
（1）∵ ∠ADC是△ABD的外角；
∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 80°.
又∵ ∠B = ∠BAD，
∴ ∠ = 80°×0.5 = 40°.
A
B
C
D
（2）在△ABC中，∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°，
∠C = 180°- 40°- 70°= 70°.
四、当堂检测
A
B
C
D
E
解：∵ ∠1是△FBE的外角；
∴ ∠1 = ∠B+ ∠E，
∴ 同理∠2 = ∠A+∠D.
∵ 在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180°,
∴ ∠A +∠B + ∠C +∠D + ∠E = 180°.
4. 如图，求∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的度数.
2
1
F
G
四、当堂检测
五、课堂总结
三角形的外角
性质 1：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
外角和：三角形的外角和为 360°；
性质 2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；