2023-2024学年广东省阳江市高新区高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省阳江市高新区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.若，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如果函数在区间上的最大值是，则的值为( )
A. B. C. D. 或
7.函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
8.若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则( )
A. 是的充分条件 B. 是的必要条件
C. 是的必要不充分条件 D. 是的充要条件
11.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
12.设函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 在上单调递减 D. 在上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知正数，满足，则的最小值为______．
14.已知幂函数是上的增函数，则的值为______．
15.不等式的解为______．
16.已知函数，若，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知不等式的解集为．
求实数，的值；
解关于的不等式：为常数，且
19.本小题分
近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量千辆小时与电动自行车的平均速度千米小时注：国家规定电动自行车最大设计时速为千米小时具有以下函数关系：．
欲使电动自行车流量不少于千辆小时，求的取值范围；
当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量精确到．
20.本小题分
已知为角终边上一点．
求和的值；
求的值．
21.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
求函数单调递增区间．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
当时，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意：，．
故选：．
先求出集合，再按交集的定义求即可．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
所以，
所以，
即，
所以，
则的最大值为．
故选：．
由已知结合不等式性质及重要不等式即可求解．
本题主要考查了重要不等式及不等式性质的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
由题意所求代数式转化为，再由“”的活用及基本不等式可得答案．
本题考查“”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则，解得．
故选：．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
5.【答案】
【解析】解：函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，
由函数在上单调递减可得，解得．
故选：．
根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可．
本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：令，则．
当时，因为，所以，
又函数在上单调递增，
所以，解得舍去．
当时，因为，所以，
又函数在上单调递增，
则，
解得舍去．
综上知或．
故选：．
利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性由区间上的最大值是，求出的值．
本题主要考查二次函数的性质和换元法的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
又，
因此函数为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；
当时，，，则，
因此，C错误，符合题意．
故选：．
首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
，，
因为，则，
所以，即；
而，，所以，
所以，即；
综上：．
故选：．
利用指对数运算法则得到，，，从而利用对数函数的性质分析判断得，，从而得解．
本题解决的关键是利用与比较大小，利用与比较大小，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当，时，满足，但，故A错误；
对于，在上单调递增，
，
故，即，故B正确；
对于，，
则，即，故C正确；
对于，，在上单调递增，
，
则，即，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，函数的单调性，作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，
可得，，，，
对于中，由，所以是的充分条件，所以A正确；
对于中，由，所以是的充分条件，所以不正确；
对于中，由，所以是的充要条件，所以不正确；
对于中，由，所以是的充要条件，所以D正确．
故选：．
根据题意，结合，，，间的推出关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，
对于，，则，当且仅当时取等号，A正确；
对于，由选项A知，当，时，成立，此时，B错误；
对于，，
当且仅当时取等号，C正确；
对于，由，得，则，
当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：．
根据给定条件，利用基本不等式及““的妙用逐项计算判断即得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数定义域为，
，即为奇函数，A正确，B错误；
当时，，根据二次函数的性质可知，函数在上单调递减，上单调递增，
根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，上单调递增，
即函数在上单调递减，C正确，D错误．
故选：．
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的判断，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
利用基本不等式“”的妙用即可得解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为为幂函数，
所以即或，
又因为为上的增函数，所以．
故答案为：．
由幂函数的定义可知，，又由为上的增函数，可得．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于不等式，令，则在区间上单调递增．
又，
故不等式的解集为．
故答案为：．
构造函数，根据函数的单调性即可求出解集．
本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，
，
解得．
故答案为：．
由题意结合诱导公式和整体思想进行运算即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
17.【答案】解：；
当时，，
，故A，，
，所以的取值范围是．
【解析】直接计算即可；
关键在于，然后计算就可以得出答案．
本题考查集合的运算，集合之间的关系，属于基础题．
18.【答案】解：因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
由根与系数的关系知，，解得，．
不等式即为，
由，则时，解不等式得，或；
时，解不等式得，或；
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或．
【解析】根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值．
不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：电动自行车流量不少于千辆小时，
即，
化简可得，解得，
又因为最高设计时速为千米小时，故，
所以欲使电动自行车流量不少于千辆小时，则．
，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时取到最小值，
此时电动车流量有最大值，最大值为，
故平均速度为千米小时时，电动车流量最大，最大值约为千辆小时．
【解析】由，求解即可；
利用基本不等式求解最值即可．
本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为为角终边上一点，
所以，；
．
【解析】利用任意角的三角函数的定义即可求解；
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：的最小正周期为，则，，
，；
取，解得，
故的单调递增区间为．
【解析】根据周期确定；根据正弦函数的性质即可求．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：由是定义在上的奇函数，且当时，．
则，解得，
即当时，；
则当时，，，
故．
作出函数的大致图象如图所示：
当，即时，函数在上单调递增，
则；
当，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，；
当时，即当，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，则，
则；
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，则，
则；
当时，即当时，函数在上单调递增，
此时，．
综上所述，．
【解析】由奇函数的性质可得出，求出的值，可得出函数在时的解析式，利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，由此可得出函数的解析式；
作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了的二次函数闭区间上最值的求解，属于中档题．
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