2023-2024学年山西省长治市重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省长治市重点学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.当时，的最小值为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
4.若为奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.“”是“函数的定义域为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如，，，已知函数则函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.
B. 第一象限角都是锐角
C. 在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为
D. 终边在直线上的角的集合是
10.若，则( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
12.已知正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.已知函数，则不等式的解集为______．
15.已知函数的最大值为，则 ______．
16.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知命题：，．
写出命题的否定；
判断命题的真假，并说明理由．
18.本小题分
已知．
若为锐角，求的值；
求的值．
19.本小题分
已知，，．
当时，求的最小值；
当时，求的最小值．
20.本小题分
某大学科研小组自年元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为单位：，此后每隔一个月每月月底测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积单位：与时间单位：月的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记年元旦最初测量时间的值为．
请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的倍？
21.本小题分
已知函数满足．
求实数的值；
求函数的值域．
22.本小题分
函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点，，为最高点，的面积为．
求函数的解析式；
若对任意的，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，，
，则．
故选：．
根据集合运算的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，，当且仅当，即时取等号．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，，
令，解可得，，
即函数的图象的对称中心为，，
分析选项：符合．
故选：．
根据题意，求出函数的对称中心，分析选项可得答案．
本题考查正切函数的对称性，注意正切函数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，若为奇函数，则，
即，变形可得，
进而可得：，必有．
故选：．
根据题意，由奇函数的定义可得，变形可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的定义域为
则，解得，
故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件．
故选：．
根据已知条件，结合二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，
即，
解得或舍去，
所以，
所以，
所以．
故选：．
利用二倍角公式解方程，求出，再利用同角的三角函数关系求出和，即可求得．
本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
则，
则，
当时，，
则，
则，
综上可得：函数的值域为．
故选：．
先阅读题意，然后分：时，当时，当时三种情况讨论即可．
本题考查了函数值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，，
，
解得．
故选：．
依题意，可得，解之可得答案．
本题考查正弦函数的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，A正确；
对于：角也是第一象限角，不是锐角，B错误；
对于：在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为正确；
对于：终边在上的角的集合是，D错误．
故选：．
由弧度制与角度的互化可得A正确；根据象限角的定义可得B错误；由弧长公式可求得C正确；利用终边相同的角的集合即可得D错误．
本题考查弧长公式，象限角的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由知，，则，A正确；
取，满足，此时，，BD错误；
由，得，C正确．
故选：．
利用指对数函数的单调性判断；举例说明判断作答．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：．
故A正确、B错误．
若，则，故C正确．
若，则平方可得，故，
故，故D错误．
故选：．
由题意，利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，即可求解．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以，B错误；
，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
，当且仅当时取等号，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：，
则，解得或，
故函数的定义域为或．
故答案为：或．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
在上为增函数，在上为减函数，
故在上为增函数，
若，必有，解可得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
根据题意，分析的单调性，由此可得原不等式等价于，解可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，设，则，
函数的最大值为，则有最大值，
而，则有，解可得．
故答案为：．
根据题意，设，由对数的运算性质可得有最大值，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及函数的最值，属于基础题．
16.【答案】．
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象．
若是偶函数，则，，故．
故答案为：．
由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
17.【答案】解：命题：，，
则命题的否定为，；
命题为假命题，理由如下：
当时，，故命题为假命题．
【解析】结合命题否定的定义，即可求解；
结合特殊值法，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
18.【答案】解：，
，
，为锐角，
，，
；
由得，
．
【解析】根据条件可求出和，然后根据两角差的余弦公式即可得解；
根据得出，根据二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系即可得出：原式，然后代入即可得解．
本题考查了二倍角的正余弦公式，同角三角函数的基本关系，是中档题．
19.【答案】解：因为，，．
当时，，当且仅当时取等号，
解得，即的最小值为；
当时，，
所以，
，当且仅当时取等号，
故的最小值为．
【解析】由已知结合基本不等式可直接求解；
先对所求式子进行变形，然后利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为两个函数模型，在上都是单调增函数，
随着的增大，的函数值增加得越来越快，不满足题意；
函数的函数值随的增加越来越慢，满足题意；
所以函数模型满足要求，
由题意知，，
解得，，
所以，，且；
由题意知，令，
化简得，解得，
所以该水域中绿球藻生长面积在月底达到其最初的生长面积的倍．
【解析】根据两个函数模型的单调性和函数值随的增加变化情况，判断并求出函数解析式；
根据函数解析式，列方程求解即可．
本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：，
所以，且，
解得；
由可得，
所以，
令，当且仅当，即时取等号，
设，，
开口向上，对称轴，所以函数在单调递增，
所以．
所以函数的值域为．
【解析】由题意可得关于的方程，解得的值；
由可得的解析式，换元整理，由二次函数的单调性可得函数的值域．
本题考查函数的解析式的求法及二次函数的性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：由题意得，，，
所以，
又的面积，
所以，
所以，，
所以；
当时，，
所以，，
若对任意的，都有，
则，
所以，
解得，
故的范围为
【解析】由函数过，代入可求，结合三角形面积公式可求，进而可求周期，结合周期公式求出，从而可求函数解析式；
先由已知的范围求的范围，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解的解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
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