2023-2024学年广东省深圳市桃源重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市桃源重点学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.不等式的解集为( )
A. B. 或
C. 或 D.
4.若角的终边上一点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
5.函数过定点( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A. 或 B. C. D.
9.已知，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
10.已知则( )
A. B. C. D.
11.在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
12.若存在正实数，，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知函数，则______．
14.设如，则 ______．
15.函数的零点个数是______．
16.若，且，则______．
17.若存在，使不等式成立，则实数取值范围是______．
18.若，，且，则的最大值为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知全集，集合，．
求，；
求，．
20.本小题分
解下列不等式：
．
．
21.本小题分
已知，函数．
Ⅰ若，求的最小正周期和单调区间：
Ⅱ若的最大值是，求的值．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求，的值：
试判断函数的单调性，并证明你的结论；
求使成立的实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A，因不是正整数，故A错误；
选项B，是无理数，故必是实数，故B正确；
选项C，是分数，故不是整数，故C错误；
选项D，是自然数，故D错误．
故选：．
根据元素与集合的关系依次判断选项即得．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于容易题．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到该命题的否定．
【解答】
解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“，”的否定是“，”．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．
把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
【解答】
解：不等式，
因式分解得：，
可化为：或，
解得：或，
则原不等式的解集为或．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意角的终边上一点的坐标为，即，，
则，
所以．
故选：．
根据任意角的三角函数的定义可得结果．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于函数恒过点，
令，则，，
故函数恒过定点．
故选：．
根据函数恒过点，令，即得解．
本题主要考查了对数函数的性质的简单应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由得，
依题意，，
令得．
故选：．
根据函数解析式求得正确答案．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由奇函数的定义可得，再令，可得所求值．
【解答】
解：函数是奇函数，
可得，
即，
所以．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
则扇形的弧长为，故，
又，解得舍去或，
故选：．
设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，从而根据周长和面积得到方程组，检验后求出答案．
本题考查扇形面积公式的综合应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，
当时，，，当且仅当，即时取等号，
当时，，，当且仅当，即时取等号，
故或．
故选：．
由已知结合基本不等式对的正负进行分类讨论，即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数性质，将、、分别与、比较，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，，
，，
，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两角和与差的正切公式以及综合法的证明思想．属基础题．
根据，先求出的值，再求．
【解答】
解：，
故，即．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，为正实数，则，
当且仅当，即时等号成立，
若存在正实数，，使得不等式成立，则，解得或，
故实数的取值范围为．
故选：．
先根据基本不等式求得，再由存在性问题可得，运算求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数，
则．
故答案为：．
利用分段函数求解函数值即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，可得，
则．
故答案为：．
利用诱导公式化简已知条件以及所求表达式，然后弦切互化，求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由解得，
函数在上单调递增，
，，所以在上有唯一零点，
综上所述，的零点个数是个．
故答案为：．
通过解方程、函数的单调性、零点存在性定理求得正确答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
解得或舍，
则．
故答案为：．
由已知心求出，然后结合二倍角公式求出，然后结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：由题意，可知：
，，
对不等式进行参变量分离，可得：
，
令，．
则图象如下：
根据图象，可知：
只要使存在于区间即可，
．
故答案为：
对不等式进行参变量分离得到，然后令，再根据图形分析的最值问题，根据题意只要使就可以得到的取值范围．
本题主要考查参变量分离方法、数形结合方法，函数最值问题，以及存在型命题的含义．本题属中档题．
18.【答案】
【解析】解：，，由基本不等式，，即，当且仅当时等号成立，，
即，解得，当，即，时，有最大值．
故答案为：．
利用基本不等式的性质，求解和的最小值．
本题考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为，，
则，．
依题意：或，或，
所以，或．
【解析】根据交集及并集运算即可求解；
根据补集及交集，并集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集，并集及补集运算，属于基础题．
20.【答案】解：不等式可化为，所以不等式的解集为．
不等式可化为，即，解得或，
所以不等式的解集为．
【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解可求答案．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
21.【答案】解：Ⅰ当时，
，
其最小正周期；
由，得．
所以函数的单调递增区间为，．
由，得，
所以的单调递减区间为．
Ⅱ由题意，
由于函数的最大值为，即，
解得，
又，
故．
【解析】Ⅰ利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．
Ⅱ利用函数的最大值为，通过求解方程求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数是定义在上的奇函数，
且，可得即；
又，则，所以，；
在上为增函数．
证明：设，则
，
由，可得，，
则，即，
所以在上为增函数；
由为奇函数，
可得即为，
由在上为增函数，可得，
解得，即的取值范围是．
【解析】由奇函数的性质可得，结合，解方程可得，的值；
在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；
由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
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