2023-2024学年广东省汕头市金平区高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省汕头市金平区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列能构成集合的是( )
A. 汕头电视台著名节目主持人 B. 我市跑得快的汽车
C. 汕头市所有的中学生 D. ，，
2.已知点在幂函数的图象上，则函数是( )
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 定义域内的减函数 D. 定义域内的增函数
3.已知集合，，下列命题为假命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知实数，，则函数的零点所在的区间是
( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.以下四个命题中，是假命题的是( )
A. 若，且为锐角，则
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 若命题：，，则：，
D. 若，则
8.已知函数的大致图象如图，下列答案中为自然对数的底数，则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B. C. D.
10.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象得出了关于这两个旅行者的四个信息，其中正确的是( )
A. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到
B. 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样
11.下面关于叙述中正确的是( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 在区间上单调 D. 函数的零点为
12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.单位圆中，的圆心角所对的弧长为______，由该弧及半径围成的扇形的面积为______．
15.已知，，如果，那么的取值范围为______．
16.在的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上______和______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求以下式子的值：
；
．
18.本小题分
设全集，集合，或．
求；
集合，且，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
求当为偶函数时的值；
若的图象过点，求的单调递增区间．
20.本小题分
已知函数，．
若，试求函数的最小值；
对于任意的，不等式成立，试求实数的取值范围．
21.本小题分
年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．
试求的函数关系式；
一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由．
22.本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数是上的奇函数，求的值；
Ⅱ若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；
Ⅲ若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，汕头电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合，
对于，我市跑得快的汽车，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合，
对于，可以构成集合；
对于，，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合，
故选：．
根据题意，由集合中元素的特点，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查集合的定义，注意集合中元素的特点，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于点在幂函数的图象上，
故有，，即，
故函数是奇函数，故A正确，B错误．
再根据在其定义域内，不单调，可得、D错误．
故选：．
由题意，先根据幂函数的定义和性质，求出它的解析式，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为集合；
，
，为假命题；
故选：．
先求出集合，再根据，之间的关系即可求解结论．
本题主要考查命题的真假判断，以及元素与集合之间的关系，属于基础题目．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性求解．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
函数为增函数，
又，
，，
函数在内有零点，
故选：．
由可得函数的单调性，然后由已知判断、的符号，最后由函数零点存在性定理得答案．
本题考查了函数零点的判定定理，考查了指数函数的单调性，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
故．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，推得，再将弦化切，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，若，且为锐角，再结合，
可得，，故A为真命题．
对于，若，则，，
若，则，显然当时，无意义，
“”是“”的必要不充分条件，故B是真命题．
对于，若命题：，，则：，，故C为真命题；
对于，若，则，，，故，故D为假命题．
故选：．
根据同角三角函数的基本关系判断，利用充分必要条件的定义判断，根据命题的否定格式判断，利用不等式的性质判断．
本题考查命题的真假判断，考查充分必要条件判断，考查不等式的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，当时，函数值为，不符合题意；
对于，，当时，函数值为，不符合题意；
对于，，在区间上，不能满足恒成立，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，则为奇函数，在区间上，有，满足恒成立，符合题意；
故选：．
根据题意，结合函数的图象，用排除法依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，，，A错误，B正确；
，C正确，
，D正确．
故选：．
利用对数的性质和运算法则求解．
本题考查对数的性质、运算法则，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：看时间轴可知A正确；
对于：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，
所以是匀速运动，而骑自行车行驶的路程与时间的函数图象是折线，
所以是变速运动，故B正确；
对于：两条曲线的交点的横坐标为，故C正确，D错误；
故选：．
根据图象对各项进行分析，进而可得答案．
本题考查函数图象，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于函数，
令，求得，可得它的图象关于点对称，故A正确、不正确．
区间上，，单调递增，故C正确．
由于的周期为，故函数的零点为，故D不正确，
故选：．
由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解；因为函数定义在上的函数，
所以由：，，所以函数为偶函数，
又因为由知：，，当时，都有，
因此，，不妨设 ，有，即，
所以函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
又因为，所以，
作出函数的大致图象，如图所示：
对于、因为函数为偶函数，所以，
而函数在上单调递减，因此，
即，故A正确；
对于、因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，
所以，解得或，故B不正确；
对于、因为，，
因为函数为偶函数，在单调递减，
所以作函数的草图如下：
所以由或，得或，因此C正确；
对于、由知：是函数的最大值，
因此，，使得，因此D正确，
故选：．
根据题意可函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，，，作出大致图象，结合图象逐一判断即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】且
【解析】解：由题意得，，
解得且．
故答案为：且．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：单位圆的半径，的弧度数是；
由弧长公式得，所以，
．
故答案为：；．
利用弧长公式、扇形面积公式计算可得答案．
本题考查弧长公式、扇形面积公式的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，如果，，
，，
故答案为：．
根据条件，，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到的取值范围．
本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．
16.【答案】；
【解析】解：设两数为、，即，
又，
当且仅当，且，即且时成立，
故答案为：；．
本题运用均值不等式来解决：设两数为、，即，然后利用基本不等式求出与的倒数和的最小值，即可得到此时与满足的关系式，与联立即可求出此时与的值．
此题考查学生灵活运用基本不等式求函数的最小值及掌握取最小值时的条件，是一道中档题．学生做题时一定注意这个条件的利用与灵活变形．
17.【答案】解：
；
．
【解析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解；
结合对数恒等式及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：，或，
或；
，
当时：，即，成立；
当时：．
综上：实数的取值范围是．
【解析】利用交集定义直接求解；
求出，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围．
本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：函数的最小正周期为，
；
函数，
当为偶函数时，
，
，
则；
当的图象过点，有，
，函数
令，求得，可得的增区间为，．
【解析】由题意利用函数的周期性求得；
由奇偶性求出的值．
先由题意求出，可得函数的解析式，再利用单调性，即可求解．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：，时，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以时函数的最小值为；
，任意的，不等式成立，
即在上恒成立，
设，在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】时，利用基本不等式求函数的最小值；
任意的不等式成立，问题等价于在上恒成立，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数的性质、转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：当时，
设 ，
将点代入可得，
，
当时，将点代入，解得，
故．
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
综上所述， 时学生听课效果最佳，
此时，
故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完．
【解析】将点分别代入到分段函数中，即可依次求解．
分当时，，分时，，依次解出的值，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ函数是上的奇函数，则，求得．
又此时是上的奇函数．
所以为所求．
Ⅱ函数的定义域是一切实数，则恒成立．
即恒成立，由于．
故只要即可．
Ⅲ由已知函数是减函数，
故在区间上的最大值是，
最小值是．
由题设
故 为所求．
【解析】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，属于中等题．
Ⅰ函数是上的奇函数，则，解得的值；
Ⅱ若函数的定义域是一切实数，恒成立．即恒成立，进而可得答案；
Ⅲ若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于，则，解得答案．
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