2023-2024学年河北省石家庄市正定重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省石家庄市正定重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
3.在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是( )
A. B.
C. D.
4.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知是抛物线：上的点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.将一个顶角为的等腰三角形含边界和内部的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作如果这个操作过程无限继续下去，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为，则经过次操作之后所得图形的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体，点在上运动不含端点，点是上一点不含端点，设与平面所成角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是( )
A. 的图象在处的切线斜率大于
B. 的图象在处的切线斜率小于
C. 的图象在处位于轴上方
D. 的图象在处位于轴下方
10.已知等差数列的前项和为，且，，，则( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为
11.如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 为定值
C. 若当时，为坐标原点恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为
D. 当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线与直线平行，则 ．
14.设空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
15.已知点是直线上一动点，、是圆：的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为______．
16.著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是该数列的第______项； ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知曲线．
求曲线在点处的切线方程；
求该曲线的切线倾斜角的取值范围．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
求证：．
19.本小题分
已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，为坐标原点．
求抛物线方程；
斜率为的直线过点，且与抛物线交于，两点，求的面积．
20.本小题分
如图，已知与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，．
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且，是首项为，公差为的等差数列．
求，的通项公式；
若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若过点的直线与椭圆相交于，两点，设为椭圆上一点，且满足为坐标原点，当时，求实数取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据导数的定义即可得到结论．
本题主要考查导数的定义，比较基础．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两个圆的位置关系的判断，属于基础题．
根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距与两圆半径和、差的关系，即可知两圆的位置关系．
【解答】
解：由题意，：，：，
，，，，
，故两圆外切．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：如图所示，
在三棱柱中，，
依题意．
故选：．
直接利用空间向量的线性运算可得解．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，数列满足，则，即，
即数列是公比为的等比数列，
若，则，
则，
故选：．
根据题意，由对数的运算性质可得，即，即可得数列是公比为的等比数列，结合等比数列的性质求出的值，由对数的运算性质计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：是抛物线：上的点，，
设，
则，
当且仅当时，等号成立．
故选：．
由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值．
本题主要考查二次函数的性质和抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设，，
点、在椭圆上，，两式相减得，
整理可得：，
的中点为，，由中点坐标公式，可得且，，
又直线经过点与，
，
将代入，可得，化简得，
即，解之得，
该椭圆的离心率．
故选：．
设、，代入椭圆方程并作差，化简整理得，由中点坐标公式与直线的斜率公式，结合题意化简得，且，整理可得，即可算出椭圆的离心率．
本题给出椭圆的弦的中点的坐标，在直线经过定点的情况下求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，
由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，
即经过次操作之后所得图形的面积是．
故选：．
根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果．
本题考查等比数列的通项公式，归纳推理，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，由正方体的性质，可得平面，且在平面上的射影为的外心．
设正方体的棱长为，则的边长为，
当 为的中点时，，
，此时．
在上不含端点任取一点，在平面内过作，
则与平面所成角，可得．
结合选项可知，的最小值为．
故选：．
由已知求出的中点与的连线与平面所成角的余弦值，在上不含端点任取一点，在平面内过作，则与平面所成角，可得，结合选项即可得答案．
本题考查直线与平面所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，则的图象在处的切线斜率小于，
因为，所以的图象在处位于轴上方．
故选：．
结合，，利用导数的相关知识即可判断．
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
由已知可得，，然后结合等差数列的性质及求和公式分析各选项即可判断．
【解答】
解：因为等差数列中，，，，
所以，，故A错误；
，
所以，故B正确；
由于，，故当时，最大，故C正确；
由于，，
故当时，的最大值为，故D正确．
故答案选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断，根据线面平行的判定定理判断
【解答】
解：四棱锥中，底面是正方形，平面，
，，分别是，的中点，是棱上的动点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，，，
由是棱上的动点，设，，
，，
，，故A正确；
当为中点时，是的中位线，，
平面，平面，平面，故B正确；
，，
若存在点，使直线与所成的角为，
则，
化简，得，无解，故C错误；
点到平面的距离，
点到平面的距离：，
点到平面与平面的距离和为：，是定值，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为是双曲线的右焦点，点为双曲线右支上一点，
所以由双曲线性质知线段长度的最小值为，故A错误；
对于，设，两渐近线方程分别为，，
所以，
又因为满足，可得，
所以，故B正确；
对于，因为，所以，而为坐标原点恰好为等边三角形，
因此由知，，
所以由双曲线的定义知：，
即，即双曲线的离心率，故C正确；
对于，如图，
设直线与圆相切于点，连接，则，且．
作于点，则．
又因为，所以，，
因此在中，．
又点在双曲线右支上，所以，
整理得，即，
因此双曲线的渐近线的斜率的绝对值，故D正确．
故选：．
根据题意利用焦半径公式可知长度的最小值为，可判断；利用点到直线的距离公式可得，再利用点在双曲线上即可得出为定值，即B正确；由利用直角三角形的性质和为等边三角形可得，，再根据双曲线定义即可求得离心率，可判断；当时，直线与圆相切根据勾股定理和双曲线定义可得，即双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，可判断．
本题考查双曲线的离心率和渐近线方程以及焦点三角形综合问题，勾股定理和双曲线的定义，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两直线平行的公式，属于基础题．
因为两直线平行，所以两直线的法向量平行，根据向量平行的坐标公式即可求解．
【解答】
解：直线的法向量为，
直线的法向量为，
因为两直线平行，所以，即，解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：空间向量，，
则，，
故向量在向量上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据已知条件，结合空间向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的投影公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是，
的最小值是切线长
圆心到直线的距离就是的最小值，
，
故答案为：
先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．
本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
则，
；
由，
两边平方可得
，
则．
故答案为：；．
将，代入分子，结合，化简可得第一空的结论；由，两边平方，计算可得所求值．
本题考查斐波那契数列的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
曲线在点处的切线的斜率为：．
此处的切线方程为：，即；
，，
该曲线的切线倾斜角的取值范围是
【解析】本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力，属于基础题．
求出函数在处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可；
导数值域就是切线斜率取值范围，由此即可得出结论．
18.【答案】解：设数列的首项为，公差为．
则．
由，，可得；
证明：由，，则．
故．
【解析】由，，可得数列的首项与公差，即可得通项公式；
由结合裂项求和法可得答案．
本题考查数列的求和与求通项，属于中档题．
19.【答案】解：由抛物线的定义知，，
所以，
所以抛物线的方程为．
由题意知，，
所以直线的方程为，
设，，
联立，得，
所以，，
所以，
点到直线的距离，
所以的面积．
【解析】利用抛物线的定义，求出的值即可；
联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理、焦点弦长公式与点到直线的距离公式，求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的定义，焦点弦长公式，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：取中点，连接，，
与都是正三角形，，，
又平面平面，且平面平面，
平面，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
且，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
点到平面的距离；
设平面的法向量为，
，
，令，则，
，
由知面的法向量为，
令平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】先由面面垂直得到线面垂直，然后建立空间直角坐标系，再根据点到面的距离公式求解即可；
分别求出两个平面的法向量，根据两个平面的夹角的余弦值即为两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值求解即可．
本题考查了利用空间向量求点到平面的距离及平面与平面的夹角，考查了数形结合思想，考查了数学运算、直观想象、逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，解得．
当时，，，两式相减得，即，
是首项、公比均为的等比数列，故．
又，故．
，则，
，
得．
．
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立．
令，则，
又，
当时，，当时，，
，则．
实数的取值范围为．
【解析】由，求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式；
应用错位相减法、等比数列前项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ由题意知，所以．
即分
又因为，所以，
故椭圆的方程为分
Ⅱ由题意知直线的斜率存在．设：，，，，
由得，分
，，
，
点在椭圆上，，分
，，
，，分
，，，
或，实数取值范围为分
【解析】Ⅰ由题意知，所以由此能求出椭圆的方程．
Ⅱ由题意知直线的斜率存在．设：，，，，由得再由根的判别式和嘏达定理进行求解．
本题考查椭圆方程的求法和求实数取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．
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