2023-2024学年广西柳州两校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西柳州两校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. ，
D. “”是“”的充分不必要条件
4.下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
6.加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为( )
A.
B. 且
C.
D. 且
7.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上恰有个不同零点，则正实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数与函数表示同一个函数
C. 若在上单调递增，则的取值范围为
D. 函数的零点可能位于区间中
10.已知，且，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
12.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
，；
，，当时，都有；
．
则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知一扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是______．
14.求值 ______．
15.已知，则 ______．
16.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
若不等式的解集为，求不等式的解集．
．
18.本小题分
已知．
求的值；
．
19.本小题分
已知角的终边过点，且，求的值；
已知，，且，求．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和对称轴；
求函数在区间上的最小值和最大值．
21.本小题分
建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调如图是该市冬季某一天的气温单位：随时间，单位：小时的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系．
求的表达式；
请根据的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
22.本小题分
已知函数的图象关于原点对称，其中．
当时，恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程在上有解，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，
又，所以，
又，所以．
故选：．
首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：当时，由可推出，故A不正确；
当，，，时，满足，，且，不能得到，故B不正确；
对任意的，，可得，故“，”为真命题，C正确；
当时，或；当时，可推出．
因此，“”是“”的必要不充分条件，故D不正确．
综上所述，只有项的命题为真命题．
故选：．
根据不等式的性质，判断出、两项的正误；根据含有量词的命题的真假，判断出项的正误；根据不等式的性质与充要条件的定义，判断出项的正误．
本题主要考查不等式的性质、含有量词的命题及其真假判断、充分必要条件的定义等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于：的最小正周期为，
且，即为偶函数，故A错误；
对于：的最小正周期为，
且，即为偶函数，故B错误；
对于：的最小正周期为，且为奇函数，故C正确；
对于：的最小正周期为，
且不恒成立，即不是奇函数，故D错误．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和周期性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性的判断，注意常见函数的奇偶性、周期性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
将函数的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数的图象．
故选：．
由函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查了函数的图象变换规律的简单应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增，
则该县城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数．
故选：．
由题意可得该县城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数，即可得解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：是定义在上的偶函数，
，
，，
，
在上是增函数，
在上为减函数，
则，
故选：．
由题意首先比较自变量的大小，然后结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果．
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
8.【答案】
【解析】解：，时，，
因为函数在上恰有个不同零点，
所以，
所以，
故正实数的最小值是．
故选：．
，时，，由题意得，进而求解即可．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为幂函数的图象过点，所以，所以，
所以，则，故A正确；
对于，因为的定义域为，的定义域为，
故两函数的定义域不同，不是相同函数，故B错误；
对于，因为的对称轴为，且开口向上，
又在上单调递增，所以，解得，故C错误；
对于，因为是连续函数，且，
所以根据零点存在定理可得的零点位于区间中，故D正确；
故选：．
对于，将点代入得到幂函数解析式，即可判断；对于，利用相同函数的判断方法进行判断即可；对于，先求出二次函数的对称轴，列出对应不等式，即可判断；对于，利用零点存在定理即可判断．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，幂函数的性质，同一函数的判断的方法，函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，
两边平方可得：，
则，又，
，可得，
联立得：，，，
得．
故选：．
把已知等式两边平方，结合同角三角函数基本关系式分析求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数其中，，的部分图象，
可得，，求得．
再根据五点法作图，可得．
求出，
令，求得，可得函数的图象关于点对称，故A正确．
由于，可得B错误．
令，求得，不是最值，可得函数的图象不关于直线对称，故C错误．
在区间上，，函数单调递增，故D正确．
故选：．
由题意，根据函数的最大值求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由条件得是偶函数，条件得在上单调递增，
所以，故A对，
若，则，得，故B错，
若，则或，因为，所以或，故C正确，
因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，
所以对，只需即可，故D正确．
故选：．
由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可．
本题主要函数奇偶性和单调性的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题目．
13.【答案】
【解析】解：该扇形的圆心角为，对应的弧度为，
所以半径为，则对应面积为．
故答案为：．
先利用弧度公式计算出半径，再计算出面积即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用二倍角余弦公式即可求值．
本题考查二倍角余弦公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故答案为：．
观察已知角和所求角之间的联系，再利用二倍角公式，得解．
本题考查三角恒等变换，熟练掌握二倍角公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，且，即，
，当且仅当时，取得等号，
即有的最小值为，
则，解得．
故答案为：．
由基本不等式求得的最小值，可得的最小值，由不等式恒成立思想，结合二次不等式的解法，可得所求取值范围．
本题考查不等式恒成立问题，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：若不等式的解集为，
则和是方程的根，
所以，解得，，，
故不等式可化为，
即，
解得，，
故不等式的解集为；
．
【解析】结合二次不等式与二次方程的转化关系可求，，解不等式即可求解；
结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：由，
得；
．
【解析】利用诱导公式变形，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解；
直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.【答案】解：因为角的终边过点，，
所以，解得，即，
所以，
所以，，
所以；
因为，
所以，
，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以．
【解析】根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
20.【答案】解：因为
，
所以函数的最小正周期；
令，，
可得的对称轴为：，；
因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为，最大值为．
【解析】先化简，再根据三角函数的性质，即可求解；
求得，再结合正弦函数的图象与性质，即可求解．
本题考查三角函数的性质，属中档题．
21.【答案】解：由题意，得，解得，
又，所以，又，所以，
因为，则，即，
所以，，即，，又，所以，
所以；
根据题设，令，即，
由的性质得，，
解得，，又因为，当时，；当时，；
所以或，所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为小时．
【解析】利用五点作图法，结合图象即可得解；解正弦不等式即可得解，
本题考查三角函数的性质和应用，属于中档题．
22.【答案】解：函数的图象关于原点对称，
，即，
，
恒成立，
即，恒成立，
所以，解得，
又时，无意义，
故；
当时，恒成立，
即，
在恒成立，
由于是减函数，
故当，函数取到最大值，
，
即实数的取值范围是；
，
即为，
即，
即有在上有解，
设，
在递减，
可得，
所以的范围为．
【解析】函数的图象关于原点对称，可得，整理得恒成立，即可得的解析式；当时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出的取值范围；
运用对数相等的条件，以及参数分离法和函数的单调性，可得所求范围．
本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，考查了转化化归的思想，属于中档题．
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