2023--2024学年度高三（二月）摸底考试
数学试卷
本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第1卷
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={y=4,B=y=r-2x+3到，则4n8B=（)
A.[-4,4
B.[-4,+oo）
C.[-4,2)
D.[0,2]
2.已知复数a=2+ai(a∈R),2=1-2i,若互为纯虚数，则1卡()
A.2
B.3
C.2
D.5
3..“p=π”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的（)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2,点M在边AB上，且满足BM=3MA,则
CM.CB=(
B.1
C.2
5.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为E(-√5,0)，点P在双曲线上，且线段PR的
中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是()
A.2-=1
B.
4y2=1
231
C.
x2 2
D.2y2
4
=1
32
2024高三（二月）摸底考试数学试题第1页共6页
6.在A1BC中，内角么，B.c航对的边分别a.c,若a-c=5b,5nB=6inC.
6
则sin2A的值；()
A.6
B.10
C.15
4
4
7.已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为40元，则该
三楼柱的体积为()
A.6V6
B.126
C.610
D.1210
8.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(2+x)=f(6-x),且当x≠4时其导
函数f(x)满足xf(x)>4f(x),若9
A.f(2a)B.f(6)C.f(log;a)D.f(log;a)二，选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9.给定数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2，则这组数据的（)
A.中位数为3
B.方差为
C.众数为3
D.85%分位数为4.5
10.己知各项都是实数的数列a,}的前n项和为S,则下列说法正确的是()
A.若Sn=-n2+9n+1,则数列{an}是递减数列
B.若Sn=-n2+9n+1,则数列
无最大值
C.若数列{an}为等比数列，则S,S。-S,S,-S6,…为等比数列
D.若数列{a}为等差数列，则S,S。-S,S,-S6,…为等差数列
2024高三（二月）摸底考试数学试题第2页共6页2024 高三(二月)摸底考试教师版
1．C 2.D.3.A 4. B 5A 6. Ｃ 7 B 8.Ｄ 9. AB 10：ACD. 11.ABD 12B,C
3
S π r R l πr2 πR2 56π
13 . 14.-40. 15． 8 16 5．
5
2an 1 1 a2n a 2nan 1 a 2 2n 2an 1 1 an an 1 an 1 ,n N 17．：（1）由 ，得到 ，
2 1 a2n 1 a2
n 1
an 0 a a又 ，所 n n 1 ， 2 分
a 1
n 1 2 a
1
n
1 3
a 0an 1 an a1 2
1
整理得到 ，又 ，得到 a1 2 ， 3 分
a 1n 1 an 1
1 2 a a 1
3n a n a
所以 n ，所以数列 n 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 . 4 分
1 3 2n 1an 3 2
n 2 n N
2 a 2
（ ）由（1）知 n ， 6 分
2
bn a
1
n 9 2
2n 4 9 4n 2 n N
a
所以 n ， 8 分
9
所以 Tn b1 b b b 1 41 22 3 n 4 4n 14
9 1 4n 3
4n 1 , n N .
4 1 4 4 10 分
acos B C acosA 2 3csinBcosA
18.（Ⅰ）因为 ，
所以 acosBcosC asinBsinC a cosBcosC sinBsinC 2 3csinBcosA ，
即 asinBsinC 3csinBcosA，由正弦定理得 sinAsinBsinC 3sinCsinBcosA， 2 分
显然 sinC 0,sinB 0，所以 sinA 3cosA，所以 tanA 3 ，
A 0, π π A
因为 2 ，所以 3 . 4 分
a b
2 3
（Ⅱ）因为 ABC外接圆的半径为 3，所以 sinA sinB ，
所以 a 3,b 2 3sinB ， 6 分
b2 a2 b a
2
2 3sinB 3 3 2 3 sinB
3
所以 b b 2sin B
4sin B ， 8分
{#{QQABQQYQggCgQAJAAQhCUwFYCgCQkAECCCoOgAAMsAAAyRFABAA=}#}
0 B
π
2
0 2π B π π π sinB 1 ,1
ABC 因为 为锐角三角形，所以 3 2
B
，即 6 2 ，即 2 . 10 分
3 3
令 f x x , x
1 ,1
3 1 3
，根据对勾函数的性质可知函数 f x x 在 ,2 2 上单调递减，在
,1
4x 2 4x 2
1 f 2, f 3
7
上单调递增，且 3, f 1 ，所以 f x 3,2 ，即 sinB 3 3,2 ， 2 2 4 4sinB
2 2
2 3 3 sinB 6,4 3 b a
所以 4sinB
6,4 3
，即 b 的取值范围为 . 12 分
19．【解析】：方法一：（1） PA⊥面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，其对角线 BD，AC 交于点 E
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∵PA交 AC 与点 A ∴BD⊥平面 APC 2 分
∵FG 平面 PAC，∴BD⊥FG 4 分
（2）作 BH⊥PC 于 H，连接 DH，∵PA⊥面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且 DH=BH，∴∠BHD 是二面角 B－PC－D 的平面角．即
BHD 2 , 7 分
3
∵PA⊥面 ABCD，∴∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角 8 分
连结 EH，则 EH BD, BHE ,EH PC tan BHE BE ， 3
3 EH
而 BE EC EH 3 EC， 3, sin PCA , 10 分
EH EC 3
tan 2 PCA , 11 分
2
2
∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 12 分
2
方法二：（1）以 A 为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方形 ABCD 的边长为 1，则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
1 1 1 1 a
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,E( , ,0),F ( , , ),G(m,m,0)(0 m 2)
2 2 2 2 2
BD ( 1,1,0),FG (m 1 ,m 1 , a ) BD FG m 1 1∵ ， m 0 0
2 2 2 2 2
∴BD⊥FG 4 分
（2）设平面 PBC 的一个法向量为u x, y, z
u PC 0
则 ，而 PC (1,1, a),BC (0,1,0)
u BC 0
{#{QQABQQYQggCgQAJAAQhCUwFYCgCQkAECCCoOgAAMsAAAyRFABAA=}#}
x y az 0
，取 z 1，得u (a,0,1)， 8 分
y 0
同理可得平面 PDC 的一个法向量 v (0,a ,1)，设u,v所成的角为 ，
则 | cos 2 1 | | cos | ,
3 2
| u v | 1 , 1 1即 , a 1 10 分
| u || v | 2 a2 1 a2 1 2
PA 1 2
∵PA⊥面 ABCD，∴∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角， tan PCA
AC 2 2
2
∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 12 分
2
20．（Ⅰ）设范老师抽到的 4 个汉字中，至少含有 3 个后两天学过的事件为 A，由题意可得
3
P A)= C6C
1+C 4
（ 6 6 = 3 ． 5分
C 412 11
（Ⅱ）由题意可得 可取 0，1，2，3，则有
P =0)= (1（ )2 2 2 6 分
5 5 125
P（ =1) C1 4 1 2 1 3 19 2 ( )
2 ， 7分
5 5 5 5 5 125
P（ =2) 4 2 ( )2 + C1 4 1 3 562 ， 8分5 5 5 5 5 125
P =3) (4（ )2 3 48 9 分
5 5 125
所以 的分布列为：
ξ 0 1 2 3
2 19 56 48
P
125 125 125 125
10 分
故 E 0 2 19 56 48 11+1× +2× +3× = 12 分
125 125 125 125 5
21.（1）由题意可得 A（a，0），B（0， 2），
故抛物线 C1的方程可设为 y 2 4ax，C2的方程为
x 2 4 2 y 1 分
{#{QQABQQYQggCgQAJAAQhCUwFYCgCQkAECCCoOgAAMsAAAyRFABAA=}#}
y 2 4ax
由 x 2 4 2y 得 a 4, P(8,8 2 ) 3 分
y 2x
x 2 y 2
∴椭圆 C: 1，抛物线 C 21： y 16x, 5 分；
16 2
2 2
（2）由（1）知，直线 OP 的斜率为 2 ，所以直线 l 的斜率为 ，设直线 l 方程为 y x b
2 2
6 分
x 2 y 2
1 16 2
由 ，整理得 5x 2 8 2bx (8b 2 16) 0
y 2 x b 2
8 2 2
设 M（ x1, y1）、N（ x2 , y2），则 x1 x2 b, x x
8b 16
1 2 7 分5 5
因为动直线 l与椭圆 C 交于不同两点，所以 128b 2 20(8b 2 16) 0
解得 10 b 10 8 分
y 2
2
1 y2 ( x b)(
2 x 1 2b b 8 2
2 1 2 2
b) x1x2 (x1 x2 ) b ，2 2 5
∵QM (x1 2, y1),QN (x2 2, y2 )，
2
∴ QM QN (x1 2, y1 )(x2 2, y2 ) x1x2 2(x1 x2 ) y y 2
9b 16b 14
1 2 5
10 分
∵ 10 8 b 10 ，所以当b 时，QM QN 取得最小值，
9
9 8
其最小值等于 ( ) 2 16 ( 8) 14 38 12 分
5 9 5 9 5 9
22
f x 1 2lnx 1, x 1 , 2 2
【详解】（1）当 a 1时， x 2 ，
f x 2 2 2 x 1 x 1 3 x x x3 . 1 分
由 f
1
(x) > 0，得 x 1；由 f x 0，得2 1 x 2，
所以 f x 1 在区间 ,1 上单调递增，在区间 1,22 上单调递减 .
{#{QQABQQYQggCgQAJAAQhCUwFYCgCQkAECCCoOgAAMsAAAyRFABAA=}#}
f 1 因为 2ln
1
4 1 3 2ln2, f 1 2ln1 1 1 0，
2 2
f 2 2ln2 1 3 1 2ln2, f 1 15 15 f 2 4ln2 4
ln2
0，4 4 2 4 16
注意：每个数值 1 分共 3 分
1
f x , 2
所以 在区间
2 上的最大值为 0，最小值为 3 2ln2 . 5 分
2
（2） f x 2x 2a 3 (x 0) .x
a 0 f x 0, f x 0, ① 当 时， 在 上单调递减，不可能有两个零点，舍去；6 分
2 x a
a 0 x a 当 时，所以 f x 3 (x 0)，x
由 f (x) > 0，得 0 x a ，所以 f x 在 0, a 上单调递增；
由 f x 0，得 x a ，所以 f x 在 a , 上单调递减 .
所以当 x a 时， f x 取得极大值，极大值为 f a lna ，
f a lna 0
为满足题意，必有 ，得 0 a 1 . 8 分
②因为 x1, x2 是 f x 的两个不同的零点，
所以 f x1 2lnx
a 1 0, f x 2lnx a1 2 2 2 1 0x1 x2
，
2
2 x2 x2
2 1
两式相减得 a x2 21 x2 ln
x2 .
x1
1 1 2
设 x2 x1 0 ，要证 x2 x2 a，1 2
2 2 x
2
1 1 x x 22 1 2 1
只需证 x2
2 x x2 x1
1 x2 x2x2ln 2 ，即证 ln 2 .1 2 x x1 x21 1x21
x 22
设 t 1, x ，只需证 lnt
t 1
2 (t 1) ，
1 t 1
2 2
2
t 1 1 4t t 1
设 g t lnt (t 1)，则 g t 0 ，
t2 1 t t 2 1 2 2t t 2 1
所以 g t 在 1, 上为增函数，从而 g t g 1 0，
t 2lnt 1
1 1 2
t 2
(t 1)
1 x2 x2 a所以 成立，从而 1 2 12 分
{#{QQABQQYQggCgQAJAAQhCUwFYCgCQkAECCCoOgAAMsAAAyRFABAA=}#}