莆田市多校2023-2024学年高二上学期期末联考
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若，则
A．1 B．10 C．11 D．55
2. 等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．则{an}的公比q为（ ）
A. 2 B. 2或 C. D. 3
3．直线的倾斜角是（ ）.
A． B． C． D．
4. 直线与直线平行，则实数a的值是（ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 或2
5．从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有
A．810种 B．840种 C．1620种 D．1680种
6．的展开式中的系数为( )
A．－14 B．－28 C．14 D．28
7.与椭圆C: 共焦点,且过点的双曲线的标准方程为( )
8. 设等差数列、前n项和分别是，，若，则=（ ）
A B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 常数项为第三项 B. 展开式的二项式系数和为729
C. 展开式系数最大项为第三项 D. 展开式中系数最大项的系数为240
10. 已知等比数列中，满足，则（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列
C. 数列等差数列 D. 数列中，仍成等比数列
11. 已知直线l：过抛物线C：焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A. B.
C. D. 抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
12. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围
B. 过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点
C. 圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为
D. 圆O上有2个点到直线距离等于1
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.己知曲线C: 则其渐近线方程是 .
14.某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有________种分配方法.
15.已知数列的前项和为，则__________．
16. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)求下列条件确定的方程：
（1）已知圆M的圆心坐标为，且与直线相切，求圆M的方程；
(2)已知△ABC的三个顶点为 D为BC的中点. 求BC边上的垂直平分线DE所在直线的方程.
18. (本小题满分12分)已知等差数列中，为数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19．(本小题满分12分)5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？
(1)女生不站在两端；
(2)女生相邻；
(3)女生不相邻.
20．(本小题满分12分)在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．
已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N＋)，若(2x－1)n的展开式中，______.
(1)求n的值；
(2)求的系数；
(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
21.(本小题满分12分)已知双曲线中，，虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积
22.(本小题满分12分)已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
若为原点)，求直线 的方程；
过原点作直线 的垂线， 垂足为P，若 求 的值.数学试卷
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B B A C C C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 CD AC BD AB
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 13 14 15 16
答案 x 40 16
解答题：本题共6小题，共70分.
17. (1) ;
(2).
18. (1)
(2).
19. (1)
(2)
(3).
20. (1)n=12;
(2);
(3),解析如下:
22.
(l)由(I)知F2(1,0),
所以直线的方程为y=kxk,
不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),
y=kac-k
联立
2
消去y并整理得(3+4k2)
3
x2-8k2x+4k2.12=0,
易知△=144(k2+1)>0,
8k2
由韦达定理得x1+x2=
3+4k2’
4k2-12
c1℃2=
3+4k2
所以
y1y2=(x1-k)(2-k)=k2(c1c2-
x1-x2+1)=
-9k2
3+4k2
此时
oM.0N。1,)·,2,2)=12+
4k2-12
-9k2
y1y2
3+4k2
3+4k2
解得k=±√2，
则直线的方程为y=√2x-√2或
y=-V2x+V2;
(I)过点O作OP⊥交于点P,
此时OPI为点O到直线的距离，
k
即d=OPl=
1
所以OP2-22
k2+19
(2x-l)=a+ax+ax2+agx+…+aox°，
令x=0,得a=1,
令x=-1,则
3=ao-a+az-a;+..+ao=1+a +la+a++aol
..al+lazl+la+...+laol=310-1.
o|s
=√5
(1)由已知条件可得
2b=4
，解得
c2=a2+62
a=1
b=21
因此，
双曲线的标准方程为2-
1
4
(2)由题意可知，直线的方程为y=x+1,设点
A(x1,y1)、B(c2,y2),
y=x+1
联立
2-1
可得3x2-2x-5=0,解
5
得1=-1，x2
=
3
因此，S△AOB=
2×1×x1-x2l=
4-3
因为
|MN|=V1+2|c1-x2=V1+k2
V(c1+x2)2-4x1x2=V1+k2
82+42)2-4
4k2-12
3+4
3+4k2
144(1+k2)121+2)
3+4k2)2
3+42
所以
12
3+4k2
MN
1+k2
则
λ=10P2
12
k2
3+4k2
MN
1+k2
1+2
-3-3k2
=-3
1+k2
