湖南省长沙市长沙县市示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷（含答案）

长沙县市示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测
数学
本试题卷共4页，分第I卷与第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.在数列中，若，则其公差（ ）
A.3 B.4 C.-3 D.-4
3.拋物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，四棱锥的底面是平行四边形，若是的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角大小为（ ）
A. B. C. D.
7.是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.关于函数说法正确的是（ ）
A.没有最小值，也没有最大值
B.有最小值，没有最大值
C.有最小值，有最大值
D.没有最小值，有最大值
二 多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.
9.已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知曲线，则（ ）
A.的长轴长为4 B.的渐近线方程为
C.与的焦点坐标相同 D.与的离心率互为倒数
11.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.数列是递增数列
C.数列的最小项为和
D.满足的最大正整数
12.为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲 乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（ ）
A.在时刻，甲 乙两人血管中的药物浓度相同
B.在时刻，甲 乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C.在这个时间段内，甲 乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D.在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.已知两直线，若，则实数__________.
15.数列中，，则数列的前2024项和__________.
16.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知圆的圆心在直线上，点都在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
18.（本题满分12分）
已知数列是等差数列，其前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本题满分12分）
已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.（本题满分12分）
已知函数，且当时，取得极值为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，为何值时，以为直径的圆经过原点.
长沙县市示范学校2023-2024学年高二上学期期末检测
数学
参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D A A D
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 AC BD ABD AC
12.【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲 乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；选项，在时刻，两图像的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲 乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项，由平均变化率公式知，甲 乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项正确；
选项，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确.故选：AC.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.-1或 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）解：（1）设圆心，由题
解得
所以，圆的方程为：；
（2）当的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线距离等于2，此时与圆相切，符合题意；
当的斜率存在时，设方程为
此时圆心到直线的距离等于半径2，
即：，解得：，
此时方程为：，
综上可得方程为和
18.解：（本题满分12分）（1）设等差数列的公差为，又，
所以，
解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
19.（本题满分12分）解：（1）在梯形中，因为，
所以.
又平面平面，
即可得平面.
（2）易知两两垂直，
如图，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则.
，
设平面的法向量，
则，取，则.
平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即可知直线与平面所成角的正弦值为
20.（本题满分12分）解：（1）因为数列的前项和为，
当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，即，.
所以，数列为等比数列，且其首项为1，公比为3，
所以，
（2），
则，
，
上式一下式可得
，
故.
21.（本题满分12分）解：（1）由题意得：，
则，即，解得：，
.经检验满足题意
（2）由有两个不同的实数解得：在上有两个不同的实数解，设，则，
由得：或，
当时，，则在上递增；当时，，则在上递减；
则大致图象如下图所示，
实数的取值范围为.
22.（本题满分12分）解：（1）抛物线的焦点为，
即双曲线的一个焦点为，在轴上，
设双曲线的方程为，则①，
双曲线过点，则②，
①②联立，解得或.（舍）
则双曲线的方程为
（2）联立，得，
直线与双曲线交于两点，
且，
即，且，
设，
则，
则，
若，则以为直径的圆一定经过原点，
则，
即，
，解得，
综上，当时，以为直径的圆经过原点.