2023-2024学年数学八年级上册人教版开学摸底测试卷（含解析）

2023-2024学年数学八年级上册人教版开学摸底测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．两根木棒的长度分别为，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，增加下列条件，其中能使的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③连接，交于点E．若，则点E到的距离为（ 　　）．
A．4 B．3 C．6 D．7
5．如图所示，把一根绳子对折成线段，然后从处将绳子剪断，如果是的一半，且剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．
6．若的计算结果中项的系数为，则为（ ）
A． B．3 C． D．
7．若在中的x和y都扩大到原来的2倍．那么分式的值（　　）
A．缩小为原来的一半 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍
8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等边三角形边长为6，点从点开始在上向点运动，运动到点停止，以为边在直线的同侧作等边三角形，得到点，则点的运动路径长（ ）

A．6 B． C． D．
10．在一次数学探究活动中，小李老师出示了一道八年级上册课本第页中的一道习题让学生对其结论进行探究．如图，已知，分别平分，，过点作，分别交于，交于，给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③的周长等于；④若，则；⑤若，和的延长线分别与、相交于，则，其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤
二、填空题（每题3分，共24分）
11．一个边形的内角和与外角和的比为，则 ．
12．已知：如图所示，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为 ．

13．分解因式：
14．关于的方程的解是，则 ．
15．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，于点，若，则两平行线与间的距离为 ．
16．若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ．
17．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线交于点D，交于点E，连接．若，则 ．
18．为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时．
三、解答题（共66分）
19．解分式方程：
(1)； (2)．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在中，，，平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
22．如图，在小方格纸（每个方格单位长度为1）上建立直角坐标系．
(1)点A坐标 ，点C坐标 ；
(2)点B到x轴的距离是 ；
(3)若点与点A关于y轴对称，则点的坐标是 ；
(4)连接点A、B、C得到，则的面积是 ．
23．如图，，，，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克10元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的9折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
25．在中，，点在边上，过点作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在边上，连接，使，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与直线平行；
(1)______；点的坐标______；点的坐标是______；
(2)若点，将线段水平向右平移个单位得到线段，连接．若是等腰三角形，求的值；
(3)点为轴上一动点，连接，若，请求出点坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查三角形三边的关系，根据三角形三边的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解，掌握三角形三边的数量关系是解题的关键．
【详解】解：设第三边长为，
∴，即，
∴满足条件的是，
故选：．
3．B
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据等式的性质可得，然后再结合判定两个三角形全等的一般方法L分别进行分析．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A、添加可利用SAS定理判定；
B、添加不能判定；
C、添加可利用定理判定；
D、添加可利用定理判定；
故选：B．
4．B
【分析】此题主要考查了基本作图以及角平分线的性质，正确得出是的平分线是解题关键．
由作图方法可得出是的平分线，然后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点E作于点D，
由作图方法可得出是的平分线，
∵，，
∴，
∴点E到的距离为3．
故答案为：B．
5．C
【分析】本题考查了线段的和与差，折叠的性质．根据题意分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图1，当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图2，根据线段的和与差，折叠的性质求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图1，
∵是的一半，且剪断后的各段绳子中最长的一段为，
∴，
∴绳子的原长为；
点是绳子的对折点时，将绳子展开如图2，
∴，
∴，
∴绳子的原长为；
综上所述，绳子的原长为或，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解答本题的关键．根据多项式乘以多项式的法则，计算含项的系数之和，得到方程并求解，即得答案．
【详解】在的计算过程中含项有和，
所以
解得．
故选B．
7．A
【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案．
【详解】解：把分中的x和y都扩大到原来的2倍，
得出：，
分式的值缩小为原来的，
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．
由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为，
∴汽车的速度为，
根据题意得：．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了动点运动的轨迹、等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，确定点的运动轨迹是本题的关键．连接，根据“”证明即可确定点的运动路径，进而求出点的路经长．
【详解】解：连接，

和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，，
点在上运动时，点的运动轨迹从点出发沿方向运动，
即当点从点运动到点时，点的运动路径长即为线段的长6，
点的运动路径长为6．
故选：．
10．C
【分析】①先由平分得，再由，得，据此可得，据此可对结论①进行判定；②依题意得，，假设是等腰三角形，则，由此得，再由，分别平分，得平分，由此可得，然而根据已知条件无法判定，因此假设是错误的，据此可对结论②进行判断；③由①可知，同理，进而可求出的周长，由此可对结论③进行判断；④先根据得，进而根据角平分线的定义得，，则，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数，由此可对结论④进行判断；⑤过点作于，于，则，根据，分别平分，得平分，则，再利用三角形的外角及内角和定理证，由此可利用判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故结论①正确；
②依题意得：，，
假设是等腰三角形，则，
，
，分别平分，
平分，
，，
，
根据已知条件无法判定，
假设是错误的，
即不是等腰三角形，
故结论②不正确；
③，
同理：，
的周长，
故结论③正确；
④在中，，
，
，分别平分，
，，
，
，
故结论④正确；
⑤过点作于，于
则，
，分别平分，
平分，
，
，
，
，
，分别平分，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
故结论⑤正确．
综上所述：正确的结论是：①③④⑤．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，灵活运用三角形的内角和定理及三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键．
11．8
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．利用多边形的内角和与外角和列方程并解得的值即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：8．
12．//1.5
【分析】本题考查三角形中线的性质，根据等底等高的三角形面积相等，可得三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，由此求解即可．
【详解】解：点E是的中点，
，，
，
点F是的中点，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．本题可先提公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．1
【分析】本题主要考查分式方程的解，依据题意，把分式方程转化为整式方程，再将代入求解可得．解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
将代入，得：，
解得，
故答案为：1．
15．5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线间的距离，过点P作于F，作于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为与间的距离即可得到答案．
【详解】解：如图，过点P作于F，作于G，

∵是的平分线，，
∴，
同理可得
∵，，
∴，即点F、P、G三点共线，
∴的长即为、间的距离，
∴平行线与之间的距离为
故答案为：5．
16．
【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
由分式方程不会有增根，得到，即，
将代入整式方程，得，无解，
将代入整式方程，得，
解得：，
综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查线垂直平分线定理，熟练掌握线段的垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键，由题意可知，直线是线段的垂直平分线，可得，即可得到的长．
【详解】解：由题可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，再根据开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米列出方程，求出解检验后即可得到答案. 本题主要考查了分式方程应用，根据数量之间的关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，根据题意，得
，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意.
∴，
即小陈骑自行车上班需要小时．
故答案为：
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
（1）方程两边同乘以，去分母，移项合并同类项，化系数为即可；
（2）两边同乘，合并同类项，化系数为，即可得解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
20．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可．
【详解】
．
当时，原式
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和外角的性质．
（1）首先根据角平分线的定义可求得的度数，再根据三角形内角和定理及外角的性质，即可求解；
（2）由（1）知的度数，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）解：平分，，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
．
22．(1),
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴的对称点以及三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据点的坐标的定义可得答案；
（2）根据点到x的距离等于纵坐标的绝对值可得答案；
（3）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（4）利用割补法即可求得三角形的面积．
【详解】（1）解：由题意可知，点A坐标为，点C坐标为，
故答案为：,；
（2）解：由题意可知，B到x轴的距离是，
故答案为：；
（3）解：若点与点A关于y轴对称，则点的坐标是．
故答案为：；
（4）解：连接点A、B、C得到，
则的面积是：
，
故答案为：．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质：
（1）可先证得，得到，根据等角对等边证得．
（2）可先证得，进而可求得答案．
【详解】（1）在和中，
∴．
∴．
∴．
（2）在和中，
∴．
∴．
∴．
24．(1)该种干果的第一次进价是每千克5元；
(2)超市销售这种干果共盈利8400元
【分析】（1）设该种干果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据购进干果数量是第一次的2倍还多300千克列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）用总收入减去总支出即可得到超市销售这种干果共盈利的钱数；
此题考查了分式方程的应用、有理数混合运算的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该种干果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）（元）
答：超市销售这种干果共盈利元．
25．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判断三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形，
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解∵，，，
∴．
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵点G是中点，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
26．(1)，，
(2)或或
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）根据两直线平行，可得k的值，即可求出直线与坐标轴的交点；
（2）根据平移的性质，可知点和点的坐标，是等腰三角形，分三种情况讨论；
（3）分两种情况讨论，①过点B作，且，连接交y轴于点P，过点D作轴于点H，则是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质进一步可得点D的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点P的坐标；②过点B作，且，连接交y轴于点P，过点M作轴于点N，则9是等腰直角三角形，证明根据全等三角形的性质进一步可得点M的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点P的坐标．
【详解】（1）解：直线与直线平行，
，
直线的解析式为，
令，得，
即点A的坐标为，
令，得
即点B的坐标为，
故答案为：，，；
（2）点，且将线段水平向右平移m个单位得到线段，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
是等腰三角形，分情况讨论：
①当时，可得，解得或，
②当时，可得，解得（舍去）或（舍去），
③当时，可得，解得，
综上所述，或或；
（3）分情况讨论：①过点B作，且，连接交y轴于点P，过点D作轴于点H，如图所示：
则是等腰直角三角形，
，
点，点，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点D的坐标为，
设直线的解析式为（k，b为常数，），
代入点，点，
得，解得：，
直线的解析式为，
点P的坐标为；
②过点B作，且，连接交y轴于点P，过点M作轴于点N，如图所示：
则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点M的坐标为，
设直线的解析式为（a，c为常数，），
代入点，点，
得，解得：，
直线的解析式为，
点P的坐标为．
综上所述，满足条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大．