2023-2024学年数学九年级上册人教版开学摸底测试卷（含解析）

2023-2024学年数学九年级上册人教版开学摸底测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．若点A是二次函数图象的最低点，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到，此时点D在边上，斜边交边于点F，则旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆弧所在圆的半径是，所对的圆心角是，则这条弧的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．在一个不透明的袋中装着3个红球和2个黄球，它们除颜色外其它均相同，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点是上的点，连接，过点作交于点，连接，已知半径为3，则图中阴影面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（　　）
A．4 B． C．6 D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．已知关于x的方程的一个根是5，则它的另一个根是 ．
10．已知实数，满足，，则 ．
11．抛物线向左平移2个单位长度，再问上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ．
12．如图，等边的边长为4，为坐标原点，在轴上，沿轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到，翻滚2024次后中点坐标为 ．
13．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 °．
14．如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ．

15．如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．

16．已知实数满足，则的最大值为 ．
三、解答题（共66分）
17．解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
18．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
(1)写出A、B、C的坐标．
(2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出、、的坐标，求的面积．
19．为了解市民对江门市创建全国文明城市工作的满意程度，某学校数学兴趣小组在骏景湾小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，有意隐去了一些数据，得到不完整的统计图表，设计了一道数学题．
请结合图中的信息，解决下列问题：
(1)请求出接受问卷调查的人数，并补全条形统计图；
(2)请求出扇形统计图中“满意”部分的圆心角度数；
(3)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图或列表的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
20．关于x的一元二次方程．
(1)若，求方程的两根；
(2)当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(3)若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的a，b的值．
21．如图，在中，，是中线，平分交于点．点在边上，以点为圆心的经过、两点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
22．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件） 35 40
月销售量y（件） 250 200
月销售利润w（元） 1250 2000
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过46元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
23．如图，在中，点是 上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点
(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，若，连接，在上取，过点作的垂线交于点，交于点，当时，求证： ；
(3)如图3，中，若，且， ，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，请直接写出线段的最小值.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点与点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移3个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为原抛物线对称轴上一动点，是否存在以为腰，以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，有图可知A、C、D不是中心对称图形，不符合题意，
选项B中的图形是中心对称图形，符合题意，
故选：B．
2．D
【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．直接开方法解方程即可．
【详解】解：
解得，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质；根据顶点式即可确定函数图象的顶点坐标．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，
∵二次项系数为1，
∴函数图象开口向上，其图象的最低点就是抛物线的顶点，
∴点A的坐标是；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，根据题意得，由旋转的性质得，且为旋转角，即可判定为等边三角形，即可求得旋转角．
【详解】解：∵，，
∴，
∵绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到，此时点D在边上，
∴，且为旋转角，
∴为等边三角形，
∴，
即旋转的角度为．
故选：B．
5．B
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r）．熟记公式是解题的关键．
【详解】解:
故选：B．
6．C
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，两球恰好都是红球的有6种情况，
∴两球恰好都是红球的概率为，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形的面积，即可求解．属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积等于扇形的面积，
∴阴影面积等于．
故选：A．
8．A
【分析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．设正方形的边长为a，根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可求出边长．
【详解】解：设正方形的边长为a，
时，在上，在上，依题意可知：
设，
，
；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为6；
，
解得：（负值舍去）
正方形的边长是4，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．据此得出，进而可得出答案．
【详解】解：设方程的两根为，，
则，
该方程的一个根是5，
则另一个根是：，
故答案为：．
10．或2
【分析】由已知可得，是方程的根，当时，可直接化简，当时，由根与系数关系可得，，，整理后代入即可求解．本题考查了根与系数关系以及分式的化简求值，解题的关键是根据情况熟练应用知识点．
【详解】解：实数，满足，，
可将，看作是方程的根，
当时，
，
当时，
由根与系数关系可得，，整理代入，
，
故答案为：或2．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先配方法为顶点式，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质等知识．作出把经3次翻滚后的图形，作轴于点，由勾股定理可得的长，从而可知点的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得的长，从而可知点的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2024次后中点的坐标．
【详解】解：如图所示，把经3次翻滚后，点落到点处，点经过点、点落到点处，点落到点处，作轴于点，
则，，
∴，，
，
，．
．
由图象可知，翻滚三次为一个循环，
，
∴翻滚2024次后中点的纵坐标与点的纵坐标相同，横坐标为，
∴翻滚2024次后中点的坐标为．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质．首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题．
【详解】解：由题意及旋转变换的性质得，
又∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，连接，以为边向下作正方形，连接，勾股定理求出的长，证明，得到，根据，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接．

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴AE的最小值为．
故答案为：．
15．/160度
【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
16．26
【分析】本题考查求二次函数的最值．由题意可得，代入中，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：，
，
．
，
当时，有最大值，最大值为26．
故答案为：26．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴或
解得：，；
（2）解：
解得：，．
18．(1)、、；
(2)、、，．
【分析】本题考查了旋转变换作图，根据网格结构找出对应点的位置是解题的关键．
（1）结合平面直角坐标系及点的坐标，即可得到点的坐标；
（2） 利用关于原点中心对称的点的坐标特征，得到点关于原点对称的对应点的坐标，然后描点即可得到，再求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，
∴A、B、C三点的坐标分别为：
、、．
（2）解：关于原点O对称中心的如图所示，
∴A、B、C三点关于原点对称的对应点坐标分别为：
、、，
由网格图可知，．
19．(1)50（人），图形见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，树状图法概率，从统计图中有效的获取信息，掌握树状图法概率，是解题的关键．
（1）用非常满意的人数除以所占百分比，求出总人数，总人数减去其他组的人数求出满意的人数，补全条形图即可；
（2）用满意的人数所占的比例乘以360度即可；
（3）画出树状图，求概率即可．
【详解】（1）解：（人），
满意的人数为：（人）
补全图形如下：
（2）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中是“一男一女”的有8种情况，
∴一男一女的概率为．
20．(1)
(2)方程有两个不相等的实数根
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的知识，掌握根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）由方程的系数结合根的判别式、 ，可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根;
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得，接下来结合已知条件 ，求得，故可得到，的值．
【详解】（1）若 则
，
或 ，
；
（2）关于的一元二次方程：，
则 ，
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（3）由一元二次方程根与系数的关系，得，
又，
，
，
故可以取．
21．(1)见解析；
(2)；
【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质和圆中不规则图形面积的计算；
（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，结合角平分线的定义可知，则，根据等腰三角形三线合一的性质可得，据此结合切线的判定定理即可证明；
（2）由，，可求的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到即可；
【详解】（1）如图所示，连接，

平分交于点，
，
又，
，
，
又，是中线，
，
，
是的切线；
（2），
，
由（1）可知，
，
，，
，，
又，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
．
22．(1)
(2)当该商品的售价是45元时，月销售利润最大，最大利润为2250元
(3)
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）根据总利润=（单件利润-m）×销售量列出函数解析式，再根据时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意，得，
解得：，
所以y与x的函数表达式为；
（2）解：由表中数据知，每件商品进价为（元），
设该商品的月销售利润为w元，
则
，
∵，
∴当时，w最大，最大值为2250，
∴当该商品的售价是45元时，月销售利润最大，最大利润为2250元；
（3）解：根据题意得：
，
对称轴为直线，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴，
解得：，
∵，
∴m的取值范围为．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出，进而求出，即可求出答案；
（2）在上截取，先判断出，得出，，设，表示出，进而得出，即可判断出，进而得出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
（3）以为边在上方作等边，连接，判断出，进而得出，进而判断出时，最小，最后构造直角三角形，勾股定理解直角三角形即可求出答案．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，，
；
（2）证明：如图2，在上截取，

，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：如图3， 以为边在上方作等边，连接，

，，
由旋转知，，，
，
，
，
，
要最小，则最小，即时，最小，
在中，，
，
在上取一点，使，，
，
设则则
，
在中，
即
解得：
即线段的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
24．(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标为
(3)存在，或或或
【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式即可求解；
（2）先证明是等腰直角三角形，得出，然后求出直线解析式，设设，则，可求，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）首先求出点E、B的坐标，设，然后分两种情况：①，②，分别根据两点间距离公式求出k，得到M的坐标即可．
【详解】（1）解：把与点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∵轴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为，
此时的坐标为；
（3）解：
，
∴抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线为，
即，
联立方程组，解得，
∴，
设，
当时，则，
解得，
∴；
当时，，
解得，
∴
∴或或或时，存在以为腰，以、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，解直角三角形，勾股定理的应用，坐标与图形性质，等腰三角形等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．