2023 年下学期高二期末质量监测试题
数 学
考试范围（选择性必修第一册、第二册）
时量 120 分钟 分值 150 分
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1．直线 3x y 4 0的倾斜角是
A．30 B．60 C．120 D．150
2．向量 a 2x,1,3 ，b 1, 2y,9 ，若 a / /b，则
1 3 1 2
A． x ， y B． x ， y
6 2 6 3
1 1
C． x ， y D． x y 1
2 2
1
3．在数列 an 中，若 a1 2,an 1 n 2 ，则 aa 2023 n 1
A． 1 1 B． C．1 D．2 2
1
4．如图所示，平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE＝ BB3 1
，
DF 2
＝ DD1.若 EF xAB yAD z AA1 ，则 x+y+z 等于3
A．﹣1 B．0
1
C． D．1
3
x2 y25．已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点分别是 F ( 13,0)， F (13,0)，点 P在双a b 1 2
曲线C上，且 PF1 PF2 10，则双曲线C的方程是
x2A． y
2 x2 y2 2 2 2 2
1 B． 1 C． x y 1 D． x y 1
144 25 25 144 5 12 12 5
2023 年下学期高二期末质量监测试题 数 学 第 1版 共 6 版
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f 1 x f 1
6．已知函数 f x x2，则 lim
x 0 x
A． 1
3
B．1 C． D．2
2 2
7．设点 A(0, 4），抛物线 y2 2 px( p 0)上的点 P 到 y 轴的距离为 d．若 PA +d的最小值为
2，则 p
A．2 B．3 C．4 D．6
8．《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，
此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，
其中天干分别为甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸，地支分别为子
丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥.该书第一象为“甲子”，第二
象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回
到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙
子”，以此类推.2023年是“癸卯”年，也是毛泽东同志诞辰130
周年，那么据此推算，毛泽东同志诞辰的年份是
A．癸巳年 B．癸丑年 C．辛丑年 D．辛卯年
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．下列说法正确的是
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2023 年下学期高二期末质量监测试题 数 学 第 2版 共 6 版
{#{QQABSQQUggCoQAIAAAhCUwWKCgGQkAACAAoOBBAEsAAAiQNABAA=}#}
x y
10．直线 l : 1中，已知 a 0,b 0．若 l与坐标轴围成的三角形的面积不小于 10，则
a b
实数对 a,b 可以是
A． 3,8 B． 1,9 C． 7,4 D． 5,3
x2 211．已知曲线 y 1 m R ，则下列说法正确的为
m 2 4 m
A．若该曲线是双曲线方程，则m 4，或m 2
B．若m 2,4 则该曲线为椭圆
3 m 12C．若该曲线离心率为 ，则
2 5
D．若该曲线为焦点在 y 轴上双曲线，则离心率 e 1, 2
12．数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系 xOy中的
方程为 x3 y3 3axy 0．当 a 1时，以下四个结论正确的是
A.曲线D经过第三象限 B．曲线D关于直线 y x轴对称
C．对任意 k R ，曲线D与直线 y x k 一定有公共点
D．对任意 k R ，曲线D与直线 y k 一定有公共点
第 II 卷（非选择题共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．经过 A 3,2 ， B 0, 3 两点的直线的方程为 .
14．已知向量 a (0, 1,1),b (4,1,0)，| a b | 29，则 .
15．设函数 f (x) x ln x，则曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 ．
16． *斐波那契数列 Fn n N 在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：
2023 年下学期高二期末质量监测试题 数 学 第 3版 共 6 版
{#{QQABSQQUggCoQAIAAAhCUwWKCgGQkAACAAoOBBAEsAAAiQNABAA=}#}
2 2 2 2
F1 F2 1，当 n 2时，Fn Fn 1 F . F
F1 F2 F3 F
n 2 若 2023
m
Fm
则m的 值为 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.17 题 10 分，其余各题每题 12 分，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线 l1经过点 A 2,3 ．
（1）若 l1与直线 l2： x 2 y 4 0垂直，求 l1的方程；
（2）若 l1在两坐标轴上的截距相等，求 l1的方程．
18．已知圆M : x2 2x y2 4y 10 0．
（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：
（2）若直线 x 3y C 0与圆M 交于 A，B 两点，且 AB 2 5，求C的值．
2023 年下学期高二期末质量监测试题 数 学 第 4版 共 6 版
{#{QQABSQQUggCoQAIAAAhCUwWKCgGQkAACAAoOBBAEsAAAiQNABAA=}#}
19．已知数列 an 满足 a1 3,an 1 2an 2 .
（1）求证： an 2 为等比数列；
（2）求数列 nan 的前 n项和 Sn .
20．如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1的所有棱长均为 2，点D,E分别为 AB,CC1的中点．
（1）证明：DE / /平面 A1BC1；
（2）求直线 BA1与平面 ABE所成角的正弦值．
2023 年下学期高二期末质量监测试题 数 学 第 5版 共 6 版
{#{QQABSQQUggCoQAIAAAhCUwWKCgGQkAACAAoOBBAEsAAAiQNABAA=}#}
x2 y2
21．已知椭圆 C : 2 2 1(a b 0) 的一个焦点为 F ( 1,0) ， A1( a,0) ， A2 (a,0) ，且a b
| A2F | 3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点 F 的直线交椭圆C于点M ，N．记△ A1MN 和△ A2MN 的面积分别为 S1和 S2 ．当
S S 12 22 1 时，求直线MN 的方程．7
22．已知函数 f x mx ln x 1，m 0．
（1）讨论函数 f x 的单调性；
g x x2 2（2）若 x，且关于 x的不等式 f x g x 在 0, 上恒成立，其中 e是
e
自然对数的底数，求实数m的取值范围．
2023 年下学期高二期末质量监测试题 数 学 第 6版 共 6 版
{#{QQABSQQUggCoQAIAAAhCUwWKCgGQkAACAAoOBBAEsAAAiQNABAA=}#}数学参考答案
单项选择题（8*5=40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B D D A
8．A
详解：依题意可知，天干的周期为，地支的周期为，
因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的天干也是癸；
因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的地支为巳，
所以毛泽东同志诞辰的年份是“癸巳年”.故选：A.
多项选择题（4*5=20分）
题号 9 10 11 12
答案 BD AC AD BD
11.解：对于A，若该曲线是双曲线方程，则解得，或，A正确；
对于B，当时，曲线方程为，表示圆，B错误；
对于C，若该曲线离心率为，则曲线表示椭圆，
当焦点在x轴上时，，解得，
当焦点在y轴上时，，解得，C错误；
对于D，若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则，解得，
，
因为，则，所以，
所以，D正确.
12．解：当时, 方程为
当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，A不正确；
将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，B正确；
当,联立其中，
将代入得，即，则方程组无解，
故曲线与直线无公共点，C错误;
联立可得有解,
设, ,
当时, 在单调递增, 单调递减,值域为所以成立,
当时成立.
当时, ,单调递增,
,所以成立,
所以曲线与直线一定有公共点，故D选项正确.
故答案为：BD
三、填空题（4*5=20分）
13．，14．或，15．，16.2022
16．解：由已知得，且，所以，
，
，
累加整理可得；
又因为，即是该数列的第项，
所以.
四、解答题（共70分）
17．解：（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；……5分
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或. …………10分
18．解：（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．…………6分
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
…………12分
19．解：（1）因为，
所以，
又，故为等比数列，首项为1，公比为2；……5分
（2）由（1）可知，，故，
，
故
，
令①，
则， …………8分
其中②，
①-②得，
，
故，
. …………12分
20．解：（1）取的中点，连接，
分别为的中点，
，且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面． ……6分
（2）取的中点，则．
以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
．
所以，
设平面的法向量为．
则即
取，则．
又，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为． …………12分
21．解：（Ⅰ）依题意，椭圆的半焦距，（1分）
所以．
解得．（2分）
所以．（3分）
所以椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，其方程为．
此时，或．
所以，，即，不合题意．（5分）
当直线的斜率存在时，设其方程为．
由得．（6分）
设，，，，则，．（8分）
因为，，
所以
．
令，解得．（11分）
所以直线的方程为，或．（12分）
22．解：（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．…………5分
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为． …………12分
答案第1页，共2页
