2024年上期永州市名校高二入学检测
数学
满分：150分
考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.若两条直线2x+(m+5)y-8=0和(m+3)×+4y+3m-5=0平行，则实数m的值为
A.1
B.-1
C.-3
D.-7
2.等差数列{a}的前n项和为Sn·若a1o11+a1o12+a1o13=6，则S23=
A.8092
B.4048
C.4046
D.2023
3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=C,点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC
中点，则MN=
A.1
B.
2
2
2
1+1
2
D.
3+25+20
4.已知曲线y=
a-x
e
存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是
A.[-4,0]
B.（-0,-4]U[0,+o∞）
c.（-4,0)
D.（-0,-4)U(0,+∞)）
5.已知抛物线E:y2=4x,圆C:X2+y=2x,过圆心C作直线I与抛物线E和圆C交于四点，自上而
下依次为A,M,N,B,若|AMI,，IMN|,NB成等差数列，则直线I的斜率为
A.2
B.±√2
C.②
2
D.
6.设函数f'(x)是奇函数f(x)(X∈R)的导函数，f(-1)=0,当X>0时，f'(X)-f(X)<0,则使
得f(X)>0成立的X的取值范围是
A.（-0,-1)U(0,1)
B.（-10)U1,+0）
C.（-o,-1)U(-10)
D.(0,1)U(1,+0)
7.已知数列{a}满足a=
前n项和为Tn,则T2024=
2023
2023
2024
506
A.
B.
D.
8096
2024
2025
2025
8.若对任意的X,X,∈(0，m),且X2成立，则m的最大值为
X>-X
A.3
B.1
C.e
D.e2
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，
9.已知空间四点A(-11,0),B(2,2,1),C(111),D(0,2,3),则下列四个结论中正确的是
A.AB⊥CD
B.AD=11
C.点A到直线BC的距离为√7
D.点D到平面ABC的距离为√6
10.已知圆C:×2+y2-4y+2=0,则下列说法正确的有
A.圆C关于直线×-y=0对称的圆的方程为(X-2)2+y2=2
B.直线X-y+1=0被圆C截得的弦长为
2
C.若圆C上有四个点到直线×-y+m=0的距离等于
2,则m的取值范围是(13)
D.若点P(X,y)是圆C上的动点，则x2+y2的取值范围是2-2,2+2
11.已知函数f(×)=X3-×+1,则
A.f()有两个极值点
B.f(X)有三个零点
C.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
D.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
分别是双曲线EX-y=1的左、右焦点，点P在E上，且∠FPE,-
积为
13.已知a,b为正实数，直线y=×-2a与曲线y=n(x+b)相切，则2+名的最小值为
a b
14.已知函数f(x)=e2x-2a(x-2)e*-a2x2(a>0)恰有两个零点，则a=2024 年上期永州市名校高二入学检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B B A D A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 ABD AC AD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
e2
12． 3 13．8 14．
2
四、解答题：本大题共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a1 + d = 3
a1 = 2
15．解：（1）设数列 an 的公差为d ，则 10 9 ，解得 ，所以a = 2+ (n 1) 1= n+1 .
10a1 + d = 65
n
d =1
2
因为Tn = 2bn 2，当n 2时，Tn 1 = 2bn 1 2，两式相减得：bn = 2bn 1 .
又b1 = 2b1 2，得b1 = 2，所以 bn 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，所以bn = 2 2
n 1 = 2n .
n
（2）由（1）知cn = (n+1)2 .则G
1 2 3 n
n = 2 2 +3 2 + 4 2 + + (n+1)2 ，
2G = 2 22 +3 23 + + n 2n + (n+1)2n+1n ，两式相减得：
2(1 2n ) n+1
Gn = 2 2
1 + 22 + 23 + + 2n (n +1)2n+1 = 2+ (n+1)2n+1 = n 2n+1，所以Gn = n 2 .
1 2
16．解：（1）连接BD交 AC 于点 N ，连接MN ，因为PB// 平面MAC ，且PB 平面 PBD ，
平面PBD 平面MAC =MN ，所以PB//MN ．
又因为在正方形 ABCD中，N 是 BD的中点，所以点M 为PD中点．
（2）因为PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，
AB ， AD 平面 ABCD，所以 AB ， AD， AP 两两垂直，
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以 A(0,0,0)，
1 1 1 1
B (1,0,0)，C (1,1,0)，D(0,1,0)，P (0,0,1)，M 0, , ，所以 AM = 0, , ，AC = (1,1,0)．
2 2 2 2
{#{QQABQQwQogCoQAAAAAhCQwnKCgKQkAACCIoOABAEsAAAyRFABAA=}#}
1 1
n AM = 0, y + z = 0,
设平面MAC 的法向量为n = (x, y, z)，则 即 2 2
n AC = 0, x + y = 0,
令 x =1，则 y = 1， z =1，即n = (1, 1,1)；
由 PA⊥平面 ABCD，得PA⊥ BD，又 AC ⊥ BD，PA AC = A，PA 平面PAC ，AC 平面PAC ，
所以BD ⊥平面PAC ，即BD = ( 1,1,0)是平面PAC 的一个法向量．
n BD 2 6 6
所以 cos n, BD = = = ．所以平面PAC 与平面MAC 夹角的余弦值为 ．
n BD 3 2 3 3
9 1
+ =12 2 x2 y2 a b
17．解：（1）由题意可得 ，解得a = 2 3 ，b = 4，故椭圆G 的标准方程为 + =1.
3 3+ =1 12 4
a2 b2
（2）因为 B ，C 为椭圆G 上异于 A 的两点，所以直线BC 的斜率存在，不妨设直线BC 的方程为 y = kx +m，
y = kx + m
B (x1, y ) ( )
2 2
C x , y
1 ， 2 2 ，联立方程 x2 y2 ，消去 y得 (1+ 3k )x + 6kmx + 3m2 12 = 0，
+ =1
12 4
2
则 = (6km) 4(1+3k 2 )(3m2 12) 0，整理得12k 2 + 4 m2 ，
6km 3m2 12
由韦达定理得 x1 + x2 = x 2 ， 1x2 = ，1+ 3k 1+ 3k 2
因为 A(0,2)， AB = (x1, y1 2)， AC = (x2 , y2 2)， AB ⊥ AC ，
可得 AB AC = x1x2 + ( y1 2)( y2 2) = x1x2 + (kx1 +m 2)(kx2 +m 2)
2 3(m2 4( )= 1+ k 2 ) x x + k (m 2)(x + x )+ (m 2) 2 6km 21 2 1 2 = (1+ k ) + k (m 2) + (m 2) = 0
1+3k 2 1+3k 2
化简得 (m 2)(m+1) = 0，解得m = 2 或m = 1，
当m = 2 时，直线BC 的方程为 y = kx + 2，直线过点 A(0,2)，不合题意；
当m = 1时，12k 2 + 4 m2 恒成立，直线BC 的方程为 y = kx 1，所以直线BC 过定点 (0, 1) .
c 4 4
18．解：（1）由题意得 = 3，将 (2,2)代入双曲线中得 =1，
a a2 b2
2 2
又 2 2 2，解得a2
x y
c = a +b = 2,b
2 = 4，故双曲线C 的标准方程为 =1；
2 4
{#{QQABQQwQogCoQAAAAAhCQwnKCgKQkAACCIoOABAEsAAAyRFABAA=}#}
x2 22
（2）（ⅰ）当切线 l 的斜率为 0 时，方程为 y = 2，不妨设 y = 2，此时 =1，解得 x = 2，不妨
2 4
设 A( 2,2) , B(2,2)，则OA OB = ( 2,2) (2,2) = 4+ 4 = 0，所以OA⊥OB；
t
当切线斜率不为 0 时，设为 x =my + t ，由圆心到直线距离可得 = 2，故 t2 = 4+ 4m2，
1+m2
2 2
联立 x =my + t
x y (2m2 1) y2与 =1得， + 4mty + 2t2 4 = 0，
2 4
2m
2 1 0
则 ，又 t2
2
2 2 2 = 4+ 4m
2，解得m ，
Δ =16m t 4(2t 4)(2m
2 1
) 0 2
2
设 A( ) 4mt 2t 4x1, y1 ,B(x2, y2 )，则 y + y = , y ， 1 2 1y2 =
2m2 1 2m2 1
故 x1x
2
2 = (my1 + t )(my2 + t ) =m y1y2 +mt ( y1 + y
2
2 )+ t ，
故OA OB = x1x2 + y1y2 = (1+m2 ) y1y2 +mt ( y1 + y2 )+ t2
2t2 4 4m2t2 2t22 2 4 + 2m
2t2 4m2 4m2t2 + 2m2t 2 t 2 t2 4 4m2
= (1+m ) + t = = = 0 ，故OA⊥OB；
2m2 1 2m2 1 2m2 1 2m2 1
1 1
（ⅱ）当切线 l 斜率为 0 时， OAB的面积为 OA OB = 2 2 2 2 = 4，当切线斜率不为 0 时，
2 2
2 2 2 2
2 4mt 2t 4 2 2 2 t + 4m 4
AB = 1+m2 ( y1 + y2 ) 4y y = 1+m
2
4 = 1+m ， 1 2
2m2 1 2m2 1 2m
2 1
1 2 2 2 8m
2 8 m4 +m2
因为 t2 = 4+ 4m2，点O到切线 AB 的距离为 2，故 S OAB = 2 AB = 1+m = ，
2 2m2 1 2m2 1
2 t +1
当2m2 1 0时，令2m2 1= t 0，则m = ，
2
4 2 2 28 m +m 4 t + 4t + 3 3 4 1 2 1
故 S OAB = = = 4 + +1 = 4 3 +2 2 ， 2m 1 t t t t 3 3
2 2
1 2 1 2 1
因为 t 0，所以 S的OAB = 4 3 + 4 3 = 4，同理，当 t 0时， S OAB 4， t 3 3 3 3综上， OAB面积的最小值为 4. x21．解：（1）当a = 0时， f (x) = 2xe ，可得 f (x) = 2(x+1)ex ，则 f (1) = 4e, f (1) = 2e， 所以曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y + 2e = 4e(x 1)，即 y = 4ex+ 2e .
{#{QQABQQwQogCoQAAAAAhCQwnKCgKQkAACCIoOABAEsAAAyRFABAA=}#}
1 1
a = f (x) = e2x（2）当 时， 2xex ，定义域为R ，
2 2
2x x x x
可得 f (x) = e 2(x+1)e = e (e 2x 2)，令F (x) = ex 2x 2，则F (x) = ex 2，
当 x ( , ln2)时，F (x) 0；当 x (ln2,+ )时，F (x) 0，所以F (x)在 ( , ln2)递减，在
(ln2,+ )上递增，所以F(x)min = F (ln2) = 2 2ln2 2 = 2ln2 0 ，又由
1
F ( 1) = 0, F (2) = e2 6 0，存在 x1 ( 1,ln2)使得F (x1) = 0，存在 x2 (ln2,2)使得F (x2 ) = 0，
e
当 x ( , x1 )时，F (x) 0, f (x) 0, f (x)单调递增；当 x (x1, x2 )时，F (x) 0, f (x) 0, f (x)单
调递减；当 x (x1,+ )时，F (x) 0, f (x) 0, f (x)单调递增；
1
所以 a = 时， f (x)有一个极大值，一个极小值.
2
（3）由 f (x) = ae2x 2xex f (x) = 2ae2x 2(x+1)ex = 2ex (aex，可得 x 1)，
1 1 1 a2 +1
由 x R, f (x) + 0，因为 f (0) + = a + = 0 ，可得 a<0，
a a a a
令 g (x) = aex x 1，则 g (x)在R 上递减，
x
当 x 0 时，可得ex (0,1) ，则aex (a,0) ，所以 g (x) = ae x 1 a x 1，
则 g (a 1) a (a 1) 1= 0，
x
又因为 g ( 1) = ae 1 0， x0 (a 1, 1)使得 g (x0 ) = 0，即 g (x0 ) = ae 0 x0 1= 0
且当 x ( , x0 )时， g (x) 0，即 f x 0；当 x0 (x0 ,+ )时， g (x) 0，即 f (x) 0，
所以 f (x)在 ( , x )递增，在 (x ,+ )递减，所以 f (x) = f ( ) 2xx = ae 0 x 2x e 00 0 max 0 0 ，
x +1 1 xe 0
由 g ( xx ) = ae 00 x0 1= 0
x x
，可得 a =
0
，由 f (x)max + 0，可得 (x0 +1)e
0 2x e 00 + 0x ，即
e 0 a x0 +1
(1 x0 )(1+ x0 ) +1
0 x +1 0 x2，由 0 ，可得 0 1 1，所以 2 x0 1， x0 +1
x0 +1 x +1 x
因为 a = ，设 h(x) = ( 2 x 1)，则 h (x) = 0，可知h (x)在 2,1x0 ex x )上递增，e e
1 2
h(x) h( 2 ) = = (1 2 )e 2 且h(x) h( 1) = 0，所以实数a的取值范围是 (1 2 )e
2 ,0) .
e 2
{#{QQABQQwQogCoQAAAAAhCQwnKCgKQkAACCIoOABAEsAAAyRFABAA=}#}
