18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 课件(共18张PPT) 2023-2024学年初中数学人教版八年级下册

(共18张PPT)
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程.
2.能掌握并灵活运用四个不同的判定定理.
一、学习目标
二、新课导入
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
思考：在数学中，我们要怎么确保一个四边形是否是平行四边形呢？
三、概念剖析
思考：我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.你能说一说这些性质的逆命题吗？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
我们得到的这些逆命题是否都成立呢？
证一证：
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：连接AC，
1
4
2
3
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS)
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
三、概念剖析
平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
证一证：
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
三、概念剖析
同理得 AB∥CD，
平行四边形的判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
证一证：
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴∠BAO=∠OCD ,
∴四边形ABCD是平行四边形.
三、概念剖析
∴AB∥CD,
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
O
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
同理得 AD∥BC，
三、概念剖析
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例1.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
典型例题
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形的平行四边形）
B
O
D
A
C
E
F
分析：首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出EO=FO，BO=DO，即可对四边形BFDE进行判定.
【当堂检测】
1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
【当堂检测】
2.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是
.
(2)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
B
D
A
C
平行四边形
6
4
【当堂检测】
3.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，
∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
三、概念剖析
思考：我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
证一证：
四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA .
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=CD,
A
B
C
D
2
1
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
平行四边形的判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
三、概念剖析
例2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
典型例题
分析：由垂线得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形判定定理4即可判定.
例2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
典型例题
证明:∵AE⊥AD,CF⊥BC,
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF,
在Rt△AED和Rt△CFB中,
∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS).
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【当堂检测】
4.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥ EF，AD=EF，
EF∥ BC，EF=BC.
∴AD∥ BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
四、课堂总结
平行四边形的判定：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.