18.2.3 正方形 课件(共19张PPT) 2023-2024学年初中数学人教版八年级下册

(共19张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
1.能从边、内角、对角线三个方面掌握正方形的所有性质
2.能掌握正方形不同的判定方法,能根据已知条件选择正确的方法判定正方形
3.能理解正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系
4.能解决与正方形相关的几何问题
一、学习目标
二、新课导入
观察图片中框出的图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
思考：正方形都有些什么特点呢？
三、概念剖析
正方形是特殊的平行四边形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.
（一）正方形的性质
(1)边：
正方形的对边相等且平行,四条边都相等;
(2)内角：
对角相等,且四个角都相等,都为直角;
(3)对角线：
对角线相等且互相垂直平分.
A
B
C
D
三、概念剖析
正方形是轴对称图形，共四条对称轴.
例：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.EF、GH、IJ、KL分别为正方形ABCD的对称轴.
F
E
H
G
I
J
K
L
（一）正方形的性质
三、概念剖析
（二）正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
典型例题
例1.已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是
等腰直角三角形
∴△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
又∵ AD=CD=BC=AB
归纳：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
典型例题
例2.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD=∠EDA=15°.
点拨：由正方形ABCD和△BEC是等边三角形可得△ABE和△DCE是等腰三角形，得到∠BAE和∠CDE的度数，从而证明即可.
典型例题
证明：∵ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
例2.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD=∠EDA=15°.
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
D
【当堂检测】
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO=2，求正方形的周长与面积．
∴正方形的周长为4AD= ，面积为AD2=8.
【当堂检测】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OD=2，
三、概念剖析
正方形既是矩形，又是菱形.即，
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（或对角线互相垂直的矩形是正方形）
（三）正方形的判定
矩 形
邻边相等
正方形
对角线互相垂直
三、概念剖析
（三）正方形的判定
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.（或对角线相等的矩形是正方形）
菱 形
一个角是直角
正方形
对角线相等
例2.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形.
典型例题
点拨：由题意得，四边形CFDE是矩形，根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判定四边形CFDE是正方形.
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴四边形CFDE是矩形，
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴四边形CFDE是正方形.(有一组邻边相等的矩形是正方形)
例3.如图所示，已知□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．若∠AED＝2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形．
典型例题
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC.
∴平行四边形ABCD是菱形．
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°.
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°.
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.
∴菱形ABCD是正方形．(有一个角是直角的菱形是正方形)
∴∠AEO＝ ∠AEC＝30°.
总结：
正方形判定的两条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
(1)
(2)
一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
典型例题
3.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：
使得平行四边形ABCD是正方形.
【当堂检测】
∠BAD=90°或AC=BD
4.已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠DEC＝90°.
又∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF＝DG.
同理可得DE＝DG，∴DE＝DF.
∴四边形CEDF是正方形.
G
∴∠DAF=∠DAG，∠AFD=∠AGD=90°
又∵AD=AD
∴△AFD≌△ADG(AAS)，
【当堂检测】
四、课堂总结
1.正方形的性质：
(1)边：
正方形的对边相等且平行,四条边都相等;
(2)内角：
对角相等,且四个角都相等,都为直角;
(3)对角线：
对角线相等且互相垂直平分.
2.正方形的判定：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（或对角线互相垂直的矩形是正方形）
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.（或对角线相等的矩形是正方形）