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18.1勾股定理
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了直角三角形三边的某种关系。
A
B
C
两直角边的平方和等于斜边的平方
c
a
b
A
B
C
图3-1
网格中的 三角形是否也具有这种性质？
（网格中每个小方格的面积都是1）
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积
16
25
9
两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
图3-1
网格中的 三角形是否也具有这种性质？
（网格中每个小方格的面积都是1）
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积
16
25
9
两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
图3-1
网格中的 三角形是否也具有这种性质？
（网格中每个正方形的边长都是1）
正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积
16
25
9
两直角边的平方和等于斜边的平方
a
b
c
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2
b2
c2
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
勾
股
勾
股
弦
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a
b
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
（毕达哥拉斯定理)
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
A
B
C
3千米
5千米
1.在Rt△ABC中, a=5,c=13,则b=＿＿＿＿
12
a
b
c
2.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=＿＿＿
a
b
c
第1题图
第2题图
√
2
练习（如图）
C
B
A
C
B
A
3.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= ＿＿＿AC=＿＿＿
√
3
1
4.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为________
5 或
√
7
C
A
B
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《18.1勾股定理》教学设计
〈人教版数学八年级下册第十八章第1节〉
邹城市第八中学
一、教学目标设计
本节课是本章的第一课时，课题是《探索勾股定理》，教学目标为：
(1)知识目标：①知道勾股定理是怎样验证出来的。②了解勾股定理的历史背景。
(2)能力目标：①经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，培养学生主动探索的学习热情。②理解并掌握勾股定理，用它解决简单的问题。③体验勾股定理证明中所体现出的以形证数，形数统一的思想方法。
(3)情感目标：①发展学生的个性，培养他们学习的养成教育，善于独 立思考，敢于克服困难和创新精神。②培养学生的民族自豪感，激励学生的爱国热情。
二、情境创设
通过古希腊数学家毕达哥拉斯发现朋友家的地板中蕴藏的三角形的某种关系和赵爽弦图，将同学引入现实生活的具体问题中去，激发学生求知的欲望，自然而然的引入新课。
三、教学策略及自主学习设计
1、创设情境，实例导入……利用毕达哥拉斯发现朋友家的地板中蕴藏的有关直角三角形的三边之间存在某种数量关系，激发学生的学习兴趣。
2、师生互动、探索新知，趣引妙答，思路点拨……引导学生去感受，去亲历从现实生活中建立勾股定理的过程。
3、思路点拨、整体感知、制造悬念……展示勾股定理的产生、形成、发展过程，使他们明确勾股定理的价值，激发学生情感，使其在丰富的现实情境中萌生求知的念头，此时教师可以总体介绍一下勾股定理，使学生有一个整体的感知。
4、情感教育，应用举例，变式测练，巩固反馈……使学生了解中国数学史，逐步认识勾股定理，感受现实生活中的丰富多彩，同时领悟勾股定理来源于实践，反过来又作用于实践的辨证原理，做问题的发现者。
5、启迪悟性……教师列举出勾股定理在现实生活中的多种应用，培养学生运用勾股定理的意识，提升学生的情感、态度、价值观。
在勾股定理的教学过程中教师只是利用多媒体课件，起“导”的作用，作为学生学习的倡导者和帮助者，起引发激励的作用，让学生去自主参与，主动探索，从而最终提高学生的科学素养。
[重点、难点及解决策略]
⑴重点：掌握勾股定理，并能利用它解决有关数学问题。
解决办法：通过实际生活中的实例，加以巩固。
⑵难点：探索验证勾股定理
解决办法：通过实际的操作
[学具]
⑴学生：A、每人准备一个以12厘米、5厘米长为直角边的直角三角形。
B、每人准备边长为12厘米和5厘米的正方形组合的多边形。
C、刻度尺，剪刀。
⑵教师：三角板、多媒体。
四、教学多媒体设计
序号 媒体内容要点 媒体类型 教学作用 使用形式 占用时间 媒体来源
1 地板中的等腰直角三角形 文本图象 B B 3分钟 自制
2 直角三角形三边有何关系？ 文本图象 E B 2分钟 课本
3 正方形中有多少个小方格？ 图象 E F 2分钟 课本
4 正方形A、B、C三兄弟面积间有何关系？ 图象 F B 3分钟 课本
5 字母表示面积 文本 E C 1分钟 自制
6 勾股定理 文本 E C 1分钟 课本
7 勾股定理的证明过程 文本图象 E B 5分钟 自制
勾股定理的发展史 文本 H G 2分钟 自制
7 勾股定理在解题中的应用 文本图象 D G 5分钟 自制
8 勾股定理在实际生活中的应用 文本图象 G E 5分钟 自制
媒体在教学中的作用分为：A、提供事实，建立经验；B、创设情境，引发动机；C、举例验证，建立概念；D、提供示范，正确操作；E、呈现过程，形成表象；F、演绎原理，启发思维；G、设难置疑，引起思辩；H、展示事例，开阔视野；I、欣赏审美，陶冶情操；J、归纳总结，复习巩固；K、其它媒体的使用方式包括：A、设疑--播放--讲解； B、设疑--播放--讨论；C、讲解--播放--概括； D、讲解--播放--举例；E、播放--讨论--讲解； F、播放--讨论--总结；G、边播放、边讲解；H、其他。
五、教学过程设计与分析
《18.1勾股定理》教学过程设计分析
教学过程 多媒体应用与操作 多媒体设计思想与应用分析
一、创设情景，实例导入。[以情启思，以思激情]向学生展示2002年的国际数学家大会会徽。为什么以这个图案作为如此重要会议的会徽？因为图案中蕴藏了一个伟大的发现。. 向学生展示照片及图片。 [创设情境，增强课堂气氛]。设置悬念,以激发学生求知的欲望。
二、思路点拨、整体感知。学生发表自己的见解，说出地板中等腰直角三角形的特点。整体感知：勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边的数量关系，主要解决直角三角形中的计算问题。 [课题展示——地板中的等腰直角三角形]学生观察图形，说出地板中的等腰直角三角形的特点。 [合作探究，突出重点]在媒体上展示图形，使学生对地板中的等腰直角三角形三边关系有直观感受。
三。师生互动，探索新知，超引妙答，思路点拨。[探索网格中的直角三角形中存在的勾股定理]①观察课本P65的图18.1-2、，得出正方形1,2中有多少个小方格及面积。②结合课本P65的图18.1-2，讨论怎样求出正方形3的面积。（图2是正方形3的面积的两种求法。） 图1 图2③根据正方形面积的关系，将三角形的边长联系起来，得出a2+b2=c2 。[探索任意直角三角形中存在的勾股定理]①尝试将学具中的图形（图3）分割，重新拼组成图4中的正方形。 图3 图4 ② 体验利用赵爽弦图的证法。（图5） 图5③体验利用（图6）等积变形的方法法。图6 [课件展示——探索勾股定理]①课件直观展示对正方形C的分割或拼补，将正方形C转化成边在格线上的三角形和正方形面积的和或差。②Flash动画展示图形的拼组过程。③文本图像结合展示两种等积变形证明勾股定理的方法。 [探索学习，相互交流]①学生自主探索，交流正方形C面积的求法，尝试将正方形C分割，拼补。课件的展示让学生能够能够直观体验利用割补法求图形面积的思维过程，学生能够通过观察→归纳→猜想而得到勾股定理。②学生合作探究，尝试图形的分割，拼组，兴趣浓厚，学习积极性高涨，享受合作学习带来的乐趣。③多媒体课件的直观展示与学生实际操作的结合，帮助学生完成由形到数的思维方式的转化。
【解释勾股定理】①由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的边称为股，斜边称为弦，所以，把它叫做勾股定理。②中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，给出了勾股定理的详细证明。了解数学史，培养学生的民族自豪感。③我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。 文本介绍. 介绍数学史拓展学生知识面，感受现实生活中的丰富多彩，培养学生的爱国主义情感。
四、应用举例，变式训练，巩固反馈。[勾股定理在生活中的运用]①例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？解：在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=100-36=64∵BC＞0∴BC=8答：飞机飞过的距离是8千米。②已知树高6米处有一小鸟，斜飞落地面找食物，落地点与树根相距8米，小鸟飞过多少米？ [勾股定理在解题中的运用]1.在Rt△ABC中, a=6,b=8,则c=＿＿＿＿2.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=＿＿＿3.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= ＿＿＿AC=＿＿＿4.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为________ 课件展示从实际问题中抽象出几何图形的过程，更加直观。 [变式训练，巩固反馈]在采用多媒体进行变式训练，目的是学生能够在轻松的心情下学习，去直观地感受。多媒体为学生提供创造学习的氛围，使学生自然地进入到学习的思想交流中，从而对数学与生活产生共鸣。
五、启迪悟性。[学生自主总结]内容总结探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，利于勾股定理，解决实际问题。方法归纳①割补法求图形的面积。②从特殊到一般的探究问题的方法。③以形证数，数形结合的数学思想方法。 回忆思考本节课的内容。 [教师提问，学生小结]用媒体展示使学生能够记忆犹新，从而巩固了本节课的内容。媒体的应用使学生能够直观的观察，提高课堂效率。
六、教学板书设计
《18.1探索勾股定理》教学板书设计
在网格中的直角三角形中 SA+SB=SC （割补法求面积）
18.1勾股定理
特殊
在等腰直角三角形中 SA+SB=SC
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2
（数形结合证勾股）
在任意直角三角形中 a2+b2=c2
一般
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