湘教版九年级上册数学教案
4.2正切
教学目标
1.会利用相似直角三角形，探索并认识正切的定义，会求锐角的正切值.
会求特殊角300，450，600的正切值交熟记这些值.
会用计算器求锐角的正切值以及已知正切值求对应锐角.
重点难点
重点：正切定义的理解以及如何求锐角的正切值．
难点：正切定义的理解,探索并认识正切.
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习教材P117-P119完成下列各题.
1.在一个直角三角形中，一个锐角A的正 ( http: / / www.21cnjy.com )弦值等于 ，余弦值等于 .
2．如图（1），在Rt△ABC中，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )=900，锐角A的 与 的比叫作∠A的正切，记作tanA，tanA= .
3．如图（1），∠C=900，AC=2， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=3，则BC= ，sinA= ，sinB= , tanA= .
二.探究展示
(一)合作探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=，∠C=∠F=900，则 =成立吗？为什么 ？
∵∠A=∠D=，∠C=∠F=900，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴=.
即BC·DF=AC·EF
∴ =.
由以上可得，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
归纳：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫作角的 ，记作 ，即tan= .
设计意图：有了前面正弦、余弦定义的知识，学生可借助已学知识自行探究，教师适当引导，并抽象出正切的定义.
动脑筋：如何求tan30°、tan45°、tan60°的值.
分析：利用已学知识组内交流讨论，不难发现
tan30°=、tan45°=1、tan60°=
做一做：将特殊角300，450，600的正弦、余弦、正切值归纳如下表.
30° 45° 60°
sin
cos
tan
设计意图：学生通过总结、归纳，从中体 ( http: / / www.21cnjy.com )会到“在直角三角形中，当一个锐角的度数确定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值均为一个常数”，当锐角变化时，比值也随这变化.因此，我们把锐角的正弦、余弦正切统称为角的锐角三角函数.
(二)展示提升
(首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法).
1.计算：tan45°+tan230°tan 260°.
2.计算：（1）：1+tan60° ； （2）tan30°cos30°.
3.用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001):
（1）350； （2）68012〞.
设计意图：巩固所学，提高应用能力.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么 ”启发学生谈谈本节课的收获.
锐角三角函数值都是在直角三角形中定义的，并且都是一个比值，因此是没有单位的.
锐角三角函数值的大小都只与锐角的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
设计意图：对本节知识进一步梳理，使之条理化.
四.当堂检测
1.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，AB=13cm，求tanA、tanB的值.
2.求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
3.已知=，是锐角，求、、的值.
设计意图：通过当堂检测，检验学生的学习效果，老师可根据反馈情况查漏补缺，在设计下节课时可进行适当的补充.
五.教学反思
因为本节课的学习是建立在正弦、余 ( http: / / www.21cnjy.com )弦的基础之上的，所以正切定义的推导完全可以放手要学生自行探究，如在探究过程中有什么疑问老师可当场释疑.给学生一个舞台,学生自然给你一份惊喜.
E
F
D
B
C
A
45°
A
C
B
B
C
30°
A
12cm
13cm
C
A
B湘教版九年级上册数学教案
4.3 解直角三角形
教学目标
理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数解直角三角形.
知道直角三角形中五个元素的关系.
通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力.
重点难点
重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.
难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.
教学设计
预习导学
学生自主预习教材P121—122完成下列问题：
1、如图，在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
(1) 直角三角形三条边的关系是： 。
（2）直角三角形两个锐角的关系是： 。
（3）直角三角形边和锐角的关系有：
、
2、如上图，在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
（1）若∠A=40°，b =3cm ，则∠B= ，a= ， c= ；
（2）若∠A=40°，a =3cm ，则∠B= ，b = ，c= ；
（3）若∠A=40°，c =3cm ，则∠B= ，a= ， b = ；
（4）若a =3cm ，c =4cm ，则b = ，∠A== ，∠B = ；
从归纳总结的角度梳理直角三角形中三边之间、角与角之间、边与角之间的关系.教师引导，学生自行解答.
二．探究展示
（一） 合作探究
1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
教师引导，学生小组讨论交流：
（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.
（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明，关键在哪里？
通过上面的分析总结得出：
在直角三角形中，除直角以外的5个 ( http: / / www.21cnjy.com )元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.
（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？
（2）学生独立思考，自己解决.
（3）小组讨论一下各自的解题思路.
解：∠B＝90°-∠A=90°-30°=60°
又∵ tanB= ∴ b=a.tanB=5.tan60°=5
∵sinA= ∴c===10
总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
（二）展示提升
1. 在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求b，∠A，∠B.
小组讨论交流，然后班内交流展示.
2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.
小组讨论交流，然后班内交流展示.
归纳总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）
已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
三．知识梳理
1. 在直角三角形中，除直角以外的5个元素 ( http: / / www.21cnjy.com )（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数等关系，就可以求出其余的3个未知元素，这叫做解直角三角形.
2. 解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）
（1）已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
四．当堂检测
1. 在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠B=45°，b=3cm，求a，c的长度.
2. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，求tan∠DBE的值.
3.如图，在△ABC中，已知∠Ｃ＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长.
4.如图，在△ABC中，∠AＣB＝90，∠A＝60，斜边上的高CD=，求∠B、AC、AB、BC。
五．教学反思
本节课从学生熟悉的直角三角形中边的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )、角的关系、边角关系引入，引导学生发现直角三角形中只要有两个条件（至少有一元素是边）就可以解直角三角形.这一结论不是由教师直接给出，而是由学生通过讨论交流获得，从而体现学生的自主性，通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题的能力.
A
B
C
b
C
a
A
B
C
b
C
a
C
B
A
E
B
C
D
A
B
D
A
C
C
D
B
A湘教版九年级数学上教案
4.1.1正弦
教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学设计
一。预习导学
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
二.探究展示
(一)合作探究
（1）如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：
在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
故
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则
成立吗？为什么？
因为 ∠A=∠D = ， ∠C=∠F= 90° ，
所以△ABC∽Rt△DEF.
所以
即
所以
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
sinA＝ （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
设计意图：通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。
(二)展示提升
1.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=3，AB=5.
（1）求sinA的值；
（2）求sinB的值.
（1）求sinA的值；
解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是
（2）求sinB的值.
解：∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC=4
因此
2.如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是 ∠B=45°从而AC=BC．
根据勾股定理，得于是
故
3. 如何求sin 60°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则∠A=30°，从而 BC=
根据勾股定理,得
所以
所以
4. 而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.7660…
5.课本113页例2
设计意图：使学生巩固特殊角的正弦值。
三。 知识梳理
本节课学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
四．当堂检测
1. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=5，AB=13.
（1）求sinA的值； （2）求sinB的值．
2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角 的正弦值.
3.计算
（1） （2）1-2
五.教学反思
本节课教学设计以教师的“问题引导 ( http: / / www.21cnjy.com )”为方向，以学生的“动手操作”为主线，学生充分经历了知识的发生过程，较好地体验了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想方法。湘教版九年级数学上教案
4.1.2余弦
教学目标：
1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值都固定（即余弦值不变）这一事实。
2.能根据余弦概念正确进行计算
3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
重点：正确理解余弦的概念，会根据边长求出余弦值。
难点：正确理解余弦的概念。
教学设计
一.预习导学
1.什么叫正弦？如何求一个角的正弦值？
2.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
二.探究展示
(一)合作探究
问题1. 如下图所示， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？
分析：因为∠A=∠D= a ，∠C=∠F=90°，所以∠B=∠E.
因此.
结论：由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
定义：如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫作∠A 的余弦，记作 cosA , 即:
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 ，有：
设计意图：通过让学生自己概括出定义，同时利用数形结合的方法，使学生加深对余弦定义的理解。
问题2:求cos30°，cos60°，cos45°的值．
问题3：对于一般锐角的余弦值，我们应当怎么求？
借助计算器。
问题4:借助计算器，已知余弦值，能不能求出它对应的锐角？
(二)展示提升
问题1:拿出计算器，做课本P115的“做一做”。
问题2:在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=，AB=3. 求 cos A，cos B ，sinA,sinB的值．
问题8:课本P115例4
设计意图：让学生加深了对概念的理解，同时突出本节教学的重点。
三.知识梳理
1.通过学习，你对余弦有什么认识？
2.怎么求一个角的余弦值？
四.当堂检测
1.计算：
(1) (2)1-2
2:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5，AB=7. 求 cos A，cos B 的值．
3. 用计算器求下列锐角的余弦值（精确到0.0001）：
(1) （2） （3）
五.教学反思
通过探究，使学生知识引向深入， ( http: / / www.21cnjy.com )在整个过程中体现了教师的主导作用和学生的主体地位。在教学过程中，如何保证每位学生都得到发展，如何给予每个学生发展平台，这是每位教师在课堂教学中必须思考的。
从而湘教版九年级上册数学教案
第四章 小结与复习
教学目标
1.掌握锐角三角函数（正 ( http: / / www.21cnjy.com )弦.余弦.正切）的概念.掌握30°.45°.60°角的三角函数值.会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）.
2.会利用锐角三角函数解决实际问题.
梳理知识，融汇贯通.
重点难点
重点：梳理知识，融汇贯通．
难点：灵活运用锐角三角函数解决实际问题.
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习、回顾教材第四章内容完成下列问题。
在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比？
200，450，600角的正弦值、余弦值、正切值分别是多少？
在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？
锐角三角函数在生活中有着广泛的应用，试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的问题。
设计意图：通过对基础知识的回顾，熟悉、熟练掌握每个知识点。
二．知识梳理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a.b.c.∠A.∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系： sinA= cosA= tanA=
(2)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系：∠A+∠B=90°．
2.特殊角度的三角函数值
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小.
设计意图：查漏补缺，梳理知识结构，使知识系统化。
三.练习巩固
1.在Rt ABC中，∠C=900，AB=12cm，BC=10cm，分别求∠A.∠B的正弦.余弦和正切值.
基本的锐角三角函数题，学生独立完成。
要求学生画图，防止出错。
设计意图：检查学生锐角三角函数的熟练程度，强化学生的数形结合思想。
2.求下列各式的值
（1） ； （2）；
（3） ； （4）
设计意图：这道题主要考查学生对特殊角的三角函数值是否记得牢固，运用熟练。
要求学生独立完成，然后小组核对。老师巡查，帮助后进生。
部分学生对二次根式的运算，特别是分母有理化，已经有些生疏，需要特别指导解决。
在Rt ABC中，∠C=900，∠A=300，c=12cm，求∠B，a，b.
设计意图：这是基本的解直角三角形的题，主要是便于学生巩固解直角三角形的知识。
由学生独立完成，然后小组内讨论交流，修正答案.
要求学生先画图，再解题。
4.如图所示，△ABC中，∠A=30°，AB=8 ，AC= 6 ,求△ABC的面积S及A到BC边的距离d.
此题由小组合作完成，然后小组派代表上台展示.
要求面积，先作高.过点B作BD⊥AC于D点.
在Rt ABD中，根据锐角三角函数可以求得BD=4，AD=
△ABC的面积S=
CD=AC-AD= 在Rt BCD中，根据勾股定理可求得BC=
由△ABC的面积S=，可以求得d的值.
四.拓展提升
在锐角 ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1） ABC的面积S与∠A，b，c之间有什么关系？
解：过点C作 ABC的高CD.
在Rt ACD中，，得出
所以，S=
求证：
证明：在Rt ACD中，，得出
同理，在Rt BCD中，可得出
所以，
从而有
教学反思
本章内容中，多数基础知识，学生还是基本能够掌握，但解直角三角形的应用，特别是坡度问题、测量问题、航海问题等，学生还是有较大的难度。
本节课的教学，一方面帮助学生梳理了本章 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识结构，巩固了每个知识点，使知识结构化、系统化；另一方面继续渗透和强化了数形结合、方程思想等数学思想。同时拓展了本章的知识，满足了不同层次学生的需求。湘教版九年级上册数学教案
4.4解直角三角形的应用（3）
教学目标
1.巩固直角三角形中的锐角三角函数，学会解关于触礁的问题．会利用方程帮助解直角三角形.
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识.
重点难点
重点：理解触礁问题的实质.
难点：利用方程帮助解直角三角形..
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习教材P128-P129完成下列各题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.
1.直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
方位角是看样表示的？
设计意图：既有前面知识的复习，巩固解直角三角形的知识，又有新知的提炼和指导，启发学生提炼问题的本质。
二.探究展示
(一)合作探究
如图，一艘船以40km/h的速度向 ( http: / / www.21cnjy.com )正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东600方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东300方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？
对于这类题型，学生会有比较浓厚的兴 ( http: / / www.21cnjy.com )趣，但往往解题时不得要领.这时要引导学生分析：要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与30km相比较的结果.若最近的距离超过30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于30km，则船有触礁的危险.船距灯塔的最近的距离即过点C向航线AB作垂线CD，所以先得求出CD的长.
但CD在Rt ACD中不能直接求出，而且在Rt BCD中也不能直接求出，怎么办？
（学生充分讨论后，由学生上台阐述自己的想法）
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=.
在Rt ACD中，
同理，在Rt BCD中，
因为>30.因此该船能继续安全地向东航行.
设计意图：学会方位角的表示方法，渗透方程思想。
解决这类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构造直角三角形，必要时要添加合适的辅助线。
展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东550方向；B船说C船在它的北偏西350方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）.
先讨论，再展示
第一步弄明白∠CAB.∠CBA的度数和 ABC是什么三角形
所以 ，即 ABC是直角三角形。
第二步确定设哪条边为
根据“C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km”，得CA-CB=40km，可以设CB=km，则CA=km
然后利用锐角三角函数列出方程.
根据∠CAB的正弦，，得
根据∠CBA的正弦，，得
所以有，，可以求得即CB的长度，进而求得AB的长。
设计意图：巩固学生对方位角 ( http: / / www.21cnjy.com )的理解，同时提升问题的难度，从而使学生能更加灵活地运用锐角三角函数来解决问题，并进一步巩固方程思想在生活和应用题中的运用。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么 ”启发学生谈谈本节课的收获.
在用解直角三角形的知识来解决实际问题时，首先要会构造合适的直角三角形.
但有时构造好三角形后，并不能直接求出我们需要的边，这时可以考虑能否借用方程和锐角三角函数一起来求.
方程思想在数学中有着极为广泛的应用，同学要善于利用它。
当堂检测
如图，塔AD的高度为30m，塔的底部 ( http: / / www.21cnjy.com )D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为600和300.求BD.BC的长（结果精确到0.01m）
五.教学反思
本堂课通过学生的充分讨论、交 ( http: / / www.21cnjy.com )流，了解了触礁问题的实质，以及它与锐角三角函数的联系。在学生增长知识的同时，发展了自身的能力。在调动学生积极性的同时，培养了学生学数学、用数学的能力和兴趣。湘教版九年级上册数学教案
4.4解直角三角形的应用（2）
教学目标
1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度和坡角有关的问题．
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识.
重点难点
重点：理解坡角和坡度的内涵及表示方法.
难点：实际问题中，坡度与正切.正弦等的综合运用.
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习教材P127-P128完成下列知识点.
如图，从山坡脚下点P上坡走到点 ( http: / / www.21cnjy.com )N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式.
图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 .
即i= .坡度越大，山坡越陡.
设计意图：通过学生的独立学习，了解坡度的概念及它与坡角的关系。培养学生的自主学习能力。
二.探究展示
(一)合作探究
一山坡的坡度为i=1：2.小刚从山 ( http: / / www.21cnjy.com )脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.010，长度精确到0.1m）
分析：已知山坡的坡度为1：2，其实就是告诉我们=1；2，即tanA=1：2.由此可得出∠A的度数；又知AC的长，要求BC的长，可以利用∠A的正弦值求得.
解：由题意可得tanA=i==0.5，因此∠A≈26.570
在Rt ABC中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m，
所以sinA=
所以BC=240×sin26.570≈107.3（m）
答：这座山坡的坡角约为26.570，小刚上升了约07.3m.
(二)展示提升
如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长.
设计意图：巩固坡度的概念，会用解直角三角形的知识解坡度的题型。
小组合作解决，提醒后进学生先利用坡度求出AC的长，然后再求AB。
2.如图所示，某水库大坝横断 ( http: / / www.21cnjy.com )面是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1：3.求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）.
设计意图：此题是坡度问题的综合运用，目的在于加深学生对“坡度即坡角的正切”的理解，并能综合运用，以解决实际问题。
斜坡AD的坡角即求∠BAE的大小，
由于AD=16m，DE=8m，因此，，
所以，
求坝宽AB，因为AB不是某个直角三角形的边，所以不好直接求得，因此可以考虑分成三段来求，即AB=AE+EF+BF
在Rt△ADE中，可以利用锐角三角函数求得AE的长
在矩形DEFC中，EF=DC=3m
在Rt△BCF中，斜坡BC的坡度i=1：3，即，
可以求得BF=24m
这样，AB=AE+EF+BF，可以快速求得。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么 ”启发学生谈谈本节课的收获.
坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数.从而也能求得山坡的高度或水平长度.
四.当堂检测
如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1：2改为1：2.5.已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积.
五.教学反思
本堂课设置的题量不多，要达到教学目的，完成 ( http: / / www.21cnjy.com )训练目标，要求学生在充分讨论的基础上，充分展示、质疑。所以学生讨论的时间要保证10分钟以上，才能达到教学效果.湘教版九年级上册数学教案
4.4解直角三角形的应用（1）
教学目标
1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2.逐步培养学生分析问题.解决问题的能力.
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于 ( http: / / www.21cnjy.com )实践的观点，培养学生用数学的意识.
重点难点
重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：根据实际问题构造合适的直角三角形.
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习教材P125-P126完成下列问题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.
在Rt ABC中，∠C=900
1.若∠A=600，b=，求a.
2.若∠B=350，c=8，用计算器求 a的值（结果精确到0.1）
设计意图：复习导入，回顾解直角三角形的相关知识，为解直角三角形的应用做铺垫。
二.探究展示
(一)合作探究
某探险者某天到达点A处时 ( http: / / www.21cnjy.com )，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本125页的图4-15）.你能帮他想出一个可行的办法吗？
探究讨论：
先把图4-15抽象，并构造出直角三角形.
（引导学生一起把实景图抽象成右图，教师点拨，学生动手。）
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A 作AC⊥BD即可以构造出直角三角形.
在Rt ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A.B的相对高度AC即可.
如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A.B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.
学生上台展示
因此，A.B两点之间的水平距离AC约为2264m.
展示提升
(首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法).
1.在离上海东方明珠塔底部1000 ( http: / / www.21cnjy.com )m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为250，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）.
设计意图：熟悉俯角、仰角的概念（都是视线与水平线的夹角），在解直角三角形题的基础上，稍加难度，学会用解直角三角形的相关知识，解决实际问题。
某厂家新开发的一种电动车 ( http: / / www.21cnjy.com )的大灯A射出的光线AB.AC与地面MN所成的夹角∠ABN、∠ACN分别为80和150，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）.
设计意图：BC不是直角三角形的一边 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以不能直接求出。设计本题的目的在于让学生学会做辅助线构造直角三角形，并能通过解两个直角三角形来解决问题。
通过质疑、追问，总结解直角三角形的应用题一般步骤：
将实物图形转化为几何图形。
将自然语言转化为数学语言。
解直角三角形，求得解。
总结作答。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么 ”启发学生谈谈本节课的收获.
求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求.
解直角三角形的应用题一般步骤：
（1）将实物图形转化为几何图形。
（2）将自然语言转化为数学语言。
（3）解直角三角形，求得解。
（4）总结作答。
四.当堂检测
1.一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC.
设计意图：这是解直角三角形的简单应用，直接利用解直角三角形的知识就可以求得。是展示提升题中的第1题的巩固。
2.有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.
求坡高CD（结果精确到0.1m）；
求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）.
设计意图：这道题要在Rt ACD中求得AD，在Rt BCD中求得BD的长，然后再求AB。是展示提升题中的第2题的巩固练习。
五.教学反思
本节课通过实例让学生更深刻地 ( http: / / www.21cnjy.com )理解和运用解直角三角形，把现实生活中的实际问题，抽象.转化为数学问题，从而利用解直角三角形的方法来解决。使学生在解决问题的同时，吸收数学中的转化思想，建模思想把现实问题通过数学模型转化为数学问题。
