重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试卷（含答案）

开州区文峰初中教育集团2024年春季九年级数学入学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用，黑色签字笔完成；
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．6的相反数是（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各点中，在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（2，3）
4．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．1：4 D．2：1
5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
第5题图 第8题图 第9题图
6．估计的值应在（　　）
A．5和6之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第10个图形共有（　　）个点组成．
A．26 B．27 C．28 D．29．
8．如图，PM与⊙O相切于点M，OP＝4，∠OPM＝30°，则OM长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．
9．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（　　）
A． B．2 C． D．
10． 已知关于的两个多项式，．其中a为常数，下列说法：
①若的值始终与无关，则；
②关于x的方程始终有两个不相等的实数根；
③若的结果不含的项，则；
④当时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．2﹣1+20230＝　 　．
12．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为　 　．
13．将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字相同的概率 　 　．
14．某校截止到2022年底，校园绿化面积为800平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1240平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　．
第15题 第16题
16．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝　 　°．
17．若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程+＝1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是 　 　．
18．若一个三位正整数m＝（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c＝9，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F（m）＝．如：m＝216满足2+1+6＝9，则216为“吉祥数”，那么n＝612，所以F（216）＝＝92．则最小的“吉祥数”是 　 　；对于任意一个“吉祥数”m，若F（m）能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是 　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：（1）（a﹣2）2+（1+a）（1﹣a）； （2）（m+2﹣）÷
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合．
（1）请用尺规作图法，作AC的垂直平分线，垂足为F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）问情况下，连接DF，求证：△CFD≌△ABC（填空）．
证明：（2）∵点F是边AC中点，∴CF＝① 　，
∵∠BCA＝30°，∠ABC＝90°，∴，∴AB＝②　 　，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠FCD＝60°，
∴∠A＝③　 　，
在△ABC和△CFD中， ∴△ABC≌△CFD（SAS）．
21．“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数
七年级 86 85 b
八年级 86 a 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
22．八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
（1）由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度；
（2）有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区．若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．
23．如图，在矩形ABCD中AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AC、AP、PC．设△APC的面积为y．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；
（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）根据函数图象，直接写出当y＝5时x的值（结果保留一位小数，误差范围±0.2）．
24．想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地C露营．如图，两家人同时从点A出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点B，再沿北偏东60°方向行驶到营地C，由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为30分钟，完成充电后立即从点D出发，前往位于点D正东方向的营地C．已知AD＝60千米，CD＝90千米．（参考数据：，）
（1）求BC的长度（结果保留根号）；
（2）欢欢到达营地C后立即开始搭帐篷，搭建过程需1个小时，已知欢欢驾驶燃油车的速度为90千米/时，乐乐驾驶电动汽车的速度为75千米/时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．
（1）求该抛物线与直线AC的解析式；
（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，连接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面积；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；
（3）如图3，若∠C＝30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．
开州区文峰初中教育集团2024年春季九年级数学入学试题答案
一．选择题：
1-5：A D B C C 6-10:A C A D B
10.【解答】解：①∵A＝x2﹣ax﹣2，B＝x2﹣2x﹣3，
∴A﹣B＝（x2﹣ax﹣2）﹣（x2﹣2x﹣3）＝（2﹣a）x+1，∵A﹣B的值始终与x无关，
∴a＝2，故①不符合题意；
②A+B＝x2﹣ax﹣2+x2﹣2x﹣3＝2x2﹣（a+2）x﹣5＝0，∵Δ＝（a+2）2+40＞0，
∴关于x的方程A+B＝0始终有两个不相等的实数根，故②符合题意；
③A B＝（x2﹣ax﹣2） （x2﹣2x﹣3）＝x4﹣（2+a）x3+（2a，﹣5）x2+（3a+4）x+6，
∵A B的结果不含x2的项，∴2a﹣5＝0，解得a＝；故③符合题意；
④当a＝1时，A＝x2﹣x﹣2，∴＝＝＝＝1+，
∵的值为整数，∴x﹣3＝±1，解得x＝4或x＝2，故④符合题意；
故选：B．
二．填空题
11. 1.5 12. 6 13. 14.
15. 16. 30 17. ﹣10 18. 117 351
17．【解答】解：关于x的不等式组整理得，∵关于x的不等式组有且仅有四个整数解，
∴1≤＜2，∴﹣8＜a≤﹣3，解分式方程得y＝且≠2，
∵关于y的分式方程有整数解，且a为整数，∴符合条件的所有整数a为﹣7，﹣3，
∴符合条件的所有整数a的和为：﹣7﹣3＝﹣10．
故答案为：﹣10．
18．【解答】解：（1）∵a+b+c＝9，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小，
∴百位上是1，十位上是1，∴个位是7，∴最小的“吉祥数”是 117；
（2）设m＝100a+10b+c，其中a+b+c＝9，则n＝100c+10b+a，
∴F（m）＝＝＝＝＝101﹣9b，
∵a+b+c＝9，且a，b，c均不为0，∴b＝1，2，3......7，
∴a+c＝4，∴，，，
∴m＝153或252或351，∴满足条件的“吉祥数”m的最大值是315．
三．解答题
19．计算：（1）（a﹣2）2+（1+a）（1﹣a）；（2）（m+2﹣）÷．
【解答】解：（1）原式＝a2+4﹣4a+1﹣a2＝5﹣4a；
（2）原式＝（﹣） ＝ ＝﹣．
20．【解答】（1）解：
（2），CF，∠FCD，AC＝CD．
21．（1）填空：a＝　86　，b＝　84　，m＝　30　；
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%＝2（人），
把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a＝＝86；
在74，75，84，84，84，86，86，95，95，97中，出现次数最多的是84，
∴众数b＝84；m%＝1﹣20%﹣＝30%，即m＝30，
（2）八年级的成绩更好，理由如下：因为八年级竞赛成绩众数88大于七年级竞赛成绩众数84；
（3）500×30%＝150（名），答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为150名．
声明：试题解析著作权属所有，未22．解：（1）设慢车的平均速度为x km/h，则快车的平均速度为（x+25）km/h，
根据题意得：1.2x+1.2（x+25）＝150，解得：x＝50．答：慢车的平均速度为50km/h；
（2）设快车返回景区的平均速度为y km/h，则小车的平均速度为1.25y km/h，
根据题意得：﹣＝0.5，解得：y＝60，经检验，y＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：快车返回景区的平均速度为60km/h．
23．解：（1）
在x的取值范围内画出y的函数图象如图．
（2）根据图象可知：当0（3）x=2.5或8.3
24．解：（1）过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
由题意知，AB∥CD，∴四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF，AB＝EF，
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，AD＝60千米，
cos∠DAE＝，∴AE＝AD cos∠DAE＝60 cos45°＝（千米），∴BF＝千米，
在Rt△BCF中，∵BF＝千米，∠CBF＝60°，cos∠CBF＝，
∴BC＝（千米），
答：BC的长度为千米．
（2）在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝45°，
∴DE＝AE＝≈42.3（千米），
在Rt△BCF中，∵BF＝千米，∠CBF＝60°，
tan∠CBF＝，cos∠CBF＝，
∴CF＝BF tan∠CBF＝ tan60°＝≈73.5（千米），
BC＝＝＝≈84.6（千米），
∴AB＝EF＝ED+CD﹣CF≈42.3+90﹣73.5＝58.8（千米），
∴欢欢家从点A出发到点C所走的路程为：AB+BC＝58.5+84.6＝143.1（千米），
所用时间为：＝1.59（小时），
乐乐从点A出发到点C所走的路程为：AD+DC＝60+90＝150（千米），
所用时间为：＝2.5（小时），∵2.5﹣1.59＝0.91＜1，
∴欢欢不能在乐乐到达营地C前搭完帐篷．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．
（1）求该抛物线与直线AC的解析式；
（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x1
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；∵OC＝OA＝1，∴C（0，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+1，则﹣k+1＝0，解得k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x+1．
（2）如图1，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.
设E（x，x2﹣x﹣）（﹣1＜x＜3），则G（x，x+1），∴EG＝x+1﹣（x2﹣x﹣）＝x2+2x+．
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，∴∠OCA＝45°，AC＝＝，
∵∠HGE＝∠OCA＝45°，∴EH＝EG sin45°＝（x2+2x+），
∴S△ACE＝××（x2+2x+）＝x2+x+＝（x﹣2）2+，
∵＜0，且﹣1＜2＜3，∴当x＝2时，S△ACE最大＝，此时E（2，）．
∴△ACE面积的最大值为，此时点E的坐标为（2，）．
（3）存在．如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则A′（1，2），AA′＝＝2，
∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点，可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度．
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，∴平移后的抛物线为y＝（x﹣3）2，其顶点坐标为（3，0）；
∵原抛物线与新抛物线都经过点B（3，0），∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F．
作A′K⊥x轴于点K，则∠AKA′＝∠FKA′＝90°，AK＝A′K＝FK＝2，
∴∠AA′K＝∠FA′K＝45°，∴∠AA′F＝90°．由，得或（不符合题意，舍去），∴D（5，6），∴FD＝＝2．
①当FP1＝FD时，则点P1与点D关于点A′对称，∴P1（﹣3，﹣2）；
②当P2D＝FD＝2时，∵CD＝×5＝5，∴CP2＝5﹣2，
∴xp＝×（5﹣2）＝5，yp＝5+1＝6，P2（5，6）；
③当DP3＝FP3时，∵∠P3DF＝∠FDP1，∠DFP3＝∠DP1F，∴△P3DF∽△FDP1，
∴，∵DP1＝×（5+3）＝8，∴P3D＝＝＝，
∴CP3＝﹣＝，∴xp＝×＝，yp＝＝，∴P3（，）；
④当P4D＝FD＝时，则CP4＝+，
∴xp＝×（+）＝5+2，yp＝5+2+1＝6+2，
∴P4（5+，6+）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣2）或（5，6）或（，）或（5+，6+）．
26．如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，连接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面积；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；
（3）如图3，若∠C＝30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．
【解答】（1）解：∵ED⊥AC，∠C＝45°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴CE＝DE＝2，
∴，∵，∴，
在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∴，
∴，∴AE＝AC﹣CE＝8，；
（2）证明：如图2中，过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T．
∵∠BDE＝∠CDF，∴∠CDE＝∠BDF，∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠EDC+∠C＝90°，
∴∠EDC＝∠A，∴∠A＝∠BDF，∵∠ABF＝∠DBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△DBF（SAS），∴AB＝BD，∵∠ABC＝∠EBT＝90°，
∴∠ABE＝∠DBT，∵∠BDT＝∠CDE＝∠A，∴△ABE≌△DBT（ASA），
∴BE＝BT，AE＝DT，∴AE+DE＝DT+DE＝ET，
∴△BET是等腰直角三角形，∴，∴；
（3）解：如图，
∵∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，当BF⊥AC时，∠ABG＝30°，
∵将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，∴∠FBE＝∠CBE＝30°，
又∠C＝∠EBC＝30°，∴EB＝EC，EB＝EA，
∴△ABE是等边三角形，设AB＝a，则AC＝2a，
∴，∴BF＝2BG＝2×GE＝AE＝a，
∵BD＝a，在Rt△ABD中，AD＝2BD＝a，如图，连接AF，
∵GE⊥BF，EF＝EB，
∴∠AEF＝∠AEB＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝AE＝AB，
∴∠FAD＝∠FAE+∠EAD＝60°+30°＝90°，
∴DF＝＝＝，
∴＝＝．