2014-2015学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷（解析版）

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2014-2015学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2-1-c-n-j-y
1．（2015春 泰安期末）下列各角与角420°终边相同的是（　　）
　 A． 30° B． 60° C． 120° D． 300°
考点： 终边相同的角．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用终边相同的角的集合定理即可得出．
解答： 解：∵420°=360°+60°，
∴与角420°终边相同的是60°．
故选：B．
点评： 本题考查了终边相同的角的集合定理，属于基础题．
　
2．（2015春 泰安期末）从1，2，4，8这4个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积为8的概率是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
　 A． B． C． D．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题： 概率与统计．
分析： 首先列举并求出“从1，2，4，8 ( http: / / www.21cnjy.com )这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为8”的事件的个数，利用概率公式计算即可．
解答： 解：从1，2，4，8这4个数中一次 ( http: / / www.21cnjy.com )随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8）共6个，【版权所有：21教育】
所取2个数的乘积为8的基本事件有（1，8），（2，4）共2个，
故所求概率P==．
故选：C．
点评： 本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．
　
3．（2012 湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）21教育名师原创作品
　 A． y与x具有正的线性相关关系
　 B． 回归直线过样本点的中心（，）
　 C． 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
　 D． 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
考点： 回归分析的初步应用．
专题： 阅读型．
分析： 根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
解答： 解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D．
点评： 本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．
　
4．（2015春 泰安期末）已知cosα=，α是第一象限角，则sin（π+α）的值为（　　）
　 A． B． ﹣ C． D． ﹣
考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简将sinα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵cosα=，α是第一象限角，
∴sinα==，
则sin（π+α）=﹣sinα=﹣，
故选：D．
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
　
5．（2015春 泰安期末）已知向量=（1，k），=（9，k﹣6），若∥，则实数k的值为（　　）
　 A． ﹣ B． C． 3 D． 3+3
考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用向量平行得到坐标的等式解之．
解答： 解：因为向量=（1，k），=（9，k﹣6），∥，所以1×（k﹣6）=9k，8k+6=0，解得k=；
故选：A．
点评： 本题考查了平面向量的平行时的坐标关系；熟记向量平行的性质是关键．
　
6．（2015春 泰安期末）先将函数y=sin2x的图象向右平移个长度单位，然后将所得图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，此时函数的解析式为（　　）
　 A． y=sin（4x﹣） B． y=sin（4x﹣） C． y=sin（x﹣） D． y=sin（x﹣）　　21*cnjy*com
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据三角函数的平移变换，周期变换之间的关系即可得到结论．
解答： 解：将函数y=sin2x图象上所有点向右平移个单位，
所得图象的解析式为y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），
然后把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到解析式为y=sin（4x﹣）．
故选：A．
点评： 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数图象的平移，注意变化顺序是关键，是中档题．
　
7．（2015春 泰安期末）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=120°，则 =（　　）
　 A． ﹣a2 B． ﹣a2 C． a2 D． a2
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 将所求利用菱形的相邻两边对应的向量表示，展开，利用菱形的性质转化为向量的计算．
解答： 解：菱形ABCD的边长为a，∠ABC=120°，则 =（）==a2+a2cos120°=a2﹣a2=；
故选：C．
点评： 本题考查了菱形的性质运用以及平面向量的数量积、平行四边形法则的运用；关键是将所求转化为菱形相邻邻边为基底表示的向量．
　
8．（2013 重庆）以下茎叶图记录了甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． 2，5 B． 5，5 C． 5，8 D． 8，8
考点： 茎叶图．
专题： 概率与统计．
分析： 求乙组数据的平均数 ( http: / / www.21cnjy.com )就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
解答： 解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
点评： 本题考查了中位数和平均数的计算 ( http: / / www.21cnjy.com )．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
　
9．（2015春 泰安期末）计算22+42+62+…+1002的算法的程序框图是（　　）
　 A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 根据每个程序框图的功能进行判断即可．
解答： 选项A是计算12+32+52+…+992的流程图，故不正确；
选项B是计算22+42+62+…+982的流程图，故不正确；
选项C是计算22+42+62+…+1022的流程图，故不正确；
选项D是计算22+42+62+…+1002的流程图，故正确；
故选D．
点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序框图的功能是解决本题的关键．
　
10．（2015春 泰安期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由f（x）是偶函数可得φ的值，利用图象关于点M对称，得f（﹣x）=﹣f（+x），可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
解答： 解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+ ）=sin（ωx+ ），
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，
由f（x）的图象关于点M对称，得f（﹣x）=﹣f（+x），
取x=0，得f（）=sin（+）=cos，
∴f（）=sin（+）=cos，∴cos=0，
又ω＞0，得=+kπ，k=1，2，3，
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；
当k=2时，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得ω=或2．
故选D．
点评： 本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，属于中档题．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（2015春 泰安期末）若扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为　1或4　．
考点： 扇形面积公式．
专题： 计算题．
分析： 设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，利用扇形的周长为6，面积为2，即可求得扇形的圆心角的弧度数．【来源：21·世纪·教育·网】
解答： 解：设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则
∴或
故答案为：1或4
点评： 本题考查扇形的周长与面积公式，解题的关键是建立方程组，属于基础题．
　
12．（2013 江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为　　．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果．
解答： 解：∵、为单位向量，且 和 的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．
∵=+3，=2，∴=（+3） （2）=2+6=2+3=5．
∴在上的射影为 =，
故答案为 ．
点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．
　
13．（2013 福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为　　．
考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 本题考查的知识点是几何概型 ( http: / / www.21cnjy.com )的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
解答： 解：3a﹣1＞0即a＞，
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．
故答案为：．
点评： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．【出处：21教育名师】
　
14．（2015春 泰安期末）已知tanα=2，tanβ=，π＜α＜，0＜β＜π，则α﹣β的值为　　．
考点： 两角和与差的正切函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由题意可得α﹣β∈（0，），求得tan（α﹣β）==﹣1，可得α﹣β的值．
解答： 解：由题意可得α﹣β∈（0，），再根据tanα=2，tanβ=，求得tan（α﹣β）===﹣1，21*cnjy*com
∴α﹣β=，
故答案为：．
点评： 本题主要考查两角和差的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．
　
15．（2015春 泰安期末）连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量=（m，n），=（﹣1，1），若△ABC中与同向，与反向，则∠ABC是钝角的概率是　　．
考点： 几何概型．
专题： 平面向量及应用．
分析： 掷两次骰子分别得到的点数m ( http: / / www.21cnjy.com )，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究
解答： 解：连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种．
由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°时，
∴（m，n） （﹣1，1）＜0，并且m+n≠0，满足题意的情况如下
当m=2时，n=1； 当m=3时，n=1，2；
当m=4时，n=1，2，3； 当m=5时，n=1，2，3，4；
当m=6时，n=1，2，3，4，5； 共有15种．
∠ABC是钝角，即向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°．
故所求事件的概率是 ；
故答案为：
点评： 本题考查古典概型概率求法，考查了概率与向量相结合，以及分类计数的技巧，有一定的综合性．
　
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（2015春 泰安期末）设计一个算法，求实数x的绝对值，并画出程序框图．
考点： 设计程序框图解决实际问题．
专题： 应用题；算法和程序框图．
分析： 利用条件语句可写出相应的算法，利用选择结构画出程序框图．
解答： （本题满分12分）
解：第一步，输入一个实数x，
第二步，判断x的符号，若x≥0，则输出x，否则，输出﹣x…6分
程序框图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )…12分
点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，本题属于基础题．
　
17．（2015春 泰安期末） 已知函数f（x）=sin（2x﹣）
（1）用“五点法”在所给的直角坐标系中画出f（x）在[0，π]内的简图．
（2）求函数f（x）的周期和单调递增区间．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．
分析： （1）利用列表法，结合五点作图法进行取值作图．
（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．
解答： 解：（1）
2x﹣ π
x 0 π
y 0 1 0 ﹣1
对应的图象为
（2）三角函数的周期T=，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为[kπ，2kπ+]，k∈Z．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握相应的三角函数的性质以及五点法作图．
　
18．（2015春 泰安期末）某中学调查了某班全部50名同学参加数学兴趣小组和物理兴趣小组的情况，数据如下表：（单位：人）21cnjy.com
参加数学兴趣小组 不参加数学兴趣小组
参加物理兴趣小组 7 10
不参加物理兴趣小组 7 26
（Ⅰ）从该班随机选一名同学，求该同学至少参加上述一个兴趣小组的概率；
（Ⅱ）在既参加数学兴趣小组，又参加物理兴趣小 ( http: / / www.21cnjy.com )组的7名同学中，有4名男同学A，B，C，D，3名女同学a，b，c，现从这4名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且a未被选中的概率．www.21-cn-jy.com
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）先判断出这是 ( http: / / www.21cnjy.com )一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加上述一个兴趣小组”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（Ⅱ）列举所有的基本事件，然后根据古典概型的概率公式计算即可．
解答： 解：（Ⅰ）设“至少参加上述一个兴趣小组”为事件A；
从50名同学中任选一名有50种选法，
∴基本事件数为50﹣26=24；
∴P（A）==；
（Ⅱ）现从这4名男同学和 ( http: / / www.21cnjy.com )3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc．Da，Db，Dc，共12个，
“A被选中且a未被选中”所包含的基本事件有Ab，Ac，共2个，
故A被选中且a未被选中的概率P==．
点评： 考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，属于基础题．
　
19．（2015春 泰安期末）某所高中 ( http: / / www.21cnjy.com )为了调查本校高一年级学生一周内课外阅读的投入时间（单位：小时）的情况，学校教务处对该校高一1500名在校生进行了随机编号，从0001号到1500号，抽取编号最后一位数字为3的150名学生进行问卷调查，搜集得到了这150名学生一周课外阅读时间的数据，将数据分成8个组，分组区间为：[1，3），[3，5），[5，7），…，[13，15），[15，17]，其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）该校问卷调查环节抽取样本过程中，运用了哪种抽样方法；
（Ⅱ）求频率分布直方图中a的值；并求落在区间[9，11）中的学生人数b；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计本校高一年级学生周课外阅读时间的平均数．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 众数、中位数、平均数；频率分布直方图．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据抽样方法的特征，得出抽样方法是系统抽样；
（Ⅱ）根据频率和为1，求出a的值，再计算落在区间[9，11）中的频率与频数；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，计算样本平均数，由此估计总体平均数．
解答： 解：（Ⅰ）先对学生随机编号，从所编的号码中抽取编号最后一位数字为3的150名学生进行问卷调查，
符合系统抽样的方法特征，应是系统抽样；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，
（2a+4a×2+5a+7a+8a+9a+11a）×2=1，
即100a=1，
解得a=0.01；
落在区间[9，11）中的频率为
11a×2=0.22，
落在该区间内的学生人数为
b=0.22×150=33；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计样本中150名学生周课外阅读时间的平均数为
2×0.08+4×0.1+6×0.14+8×0.18+10×0.22+12×0.16+14×0.08+16×0.04
=0.16+0.4+0.84+1.44+2.2+1.92+1.12+0.64
=8.72，
由此估计本校高一年级学生周课外阅读时间的平均数为8.72小时．
点评： 本题考查了抽样方法的应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，考查了平均数的计算问题，是基础题目．21教育网
　
20．（2015春 泰安期末）已知向量=（4sinx，1），=（cos（x+），1）
（Ⅰ）设函数f（x）= ，求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（）=，＜A＜π，求cos2A的值．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得f（x）=2in（2x+），根据正弦函数的单调性即可求得函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由已知可得sin（A+）=，结合A的范围，可求cos（A+）=﹣，从而可求cosA=cos（A+﹣）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解．
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）= =4sinxcos（x+）+1
=4sinx（cosx﹣sinx）+1
=（2sinxcosx）+（1﹣2sin2x）
=sin2x+cos2x
=2in（2x+），
∵f（x）=2in（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又∵f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，
∴函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．…7分
（Ⅱ）∵f（）=，
∴sin（A+）=，
又∵，
∴＜A+＜π，
∴cos（A+）=﹣，
∴cosA=cos（A+﹣）=cos（A+）cos+sin（A+）sin=，
∴cos2A=2cos2A﹣1
=2﹣1
=．…13分
点评： 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．21世纪教育网版权所有
　
21．（2015春 泰安期末）如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B是单位圆上一个定点，点P是一个动点，且∠AOB=120°，∠AOP=θ（0＜θ＜π），=+．
（Ⅰ）若=x+y，其中x，y∈R，求x+y的最大值；
（Ⅱ）当 +sinθ≥+1时，求θ的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．
专题： 平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）由已知，根据三角函数的定义得到A，B，P的坐标，将=x+y表示为以θ为参数的方程，x+y用θ的三角函数表示求最值；21·cn·jy·com
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到 +sinθ用坐标表示后化简得到关于θ的三角函数值的范围，进而求θ的取值范围．2·1·c·n·j·y
解答： 解：（Ⅰ）由任意角的三角函数的定义得到A（1，0），B（），P（cosθ，sinθ），
因为=x+y，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以x+y=sinθ+cosθ=2sin（），
因为0＜θ＜π，所以当θ=时，x+y的最大值为2；
（Ⅱ）因为=+=（1+cosθ，sinθ），
所以 +sinθ=1+cosθ+sinθ=sin（）+1≥+1，
整理得sin（），所以2kπ+≤≤2kπ+，k∈Z，所以2kπ+≤θ≤2kπ+，k∈Z，21·世纪*教育网
由于0＜θ＜π，所以，即．
点评： 本题考查了三角函数的坐标法定义的运用、平面向量的坐标运算以及三角函数的最值求法；关键是将问题坐标化．www-2-1-cnjy-com
　
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网