2024年2月普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷二（九省联考题型）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024年2月普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷二（九省联考题型）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-19 17:31:19 | ||
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文档简介
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷二（九省联考题型）
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．或 B． C．或 D．1
3．在前项和为的等差数列中，，，则（ ）
A．3 B．10 C．15 D．25
4．已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与不垂直，则与一定不垂直
B．若与不平行，则与一定是异面直线
C．若，且，则与可能平行
D．若，则与可能垂直
5．某学校举办运动会，径赛类共设100米 200米 400米 800米 1500米5个项目，田赛类共设铅球 跳高 跳远 三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ）
A．70 B．140 C．252 D．504
6．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在中，，，，则可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则
C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数
11．已知定义域为的函数，满足 ，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合,，则
13．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
14．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程．
（2） 时，若，求的定义域，并分析其单调性．
16．（本题15分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．
(1)若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）
17．（本题15分）如图，在三棱台中，平面，，，.
(1)求证：平面 平面；
(2)求与平面所成角正弦值.
18．（本题17分）已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点 ，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．
19．（本题17分）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
(1)当，时，写出所有满足的数对序列；
(2)当时，证明：；
(3)当为奇数时，记的最大值为，求.
参考答案：
1．D
【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故选：D．
2．C
【详解】因为椭圆，离心率为，
当其焦点在上时，，则，
所以，又，解得；
当其焦点在上时，，则，
所以，又，解得；
综上，或.
故选：C.
3．C
【详解】设 的通项公式为 ，其中 是首项，是公差，
则 ， ，
由题意 ，解得 ，又 ，
代入得 ，得 ，得.
故选：C
4．D
【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误；
对B：当时，与不是异面直线，故B错误；
对C：若，且，与为异面直线，故C错误；
对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确.
故选：D.
5．B
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，
所以此时满足题意的选法有，
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，
所以此时满足题意的选法有，
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.
故选：B.
6．A
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故
又，则，
故，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
故选：A
7．D
【详解】法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
代入原式并化简得，
令，因为题设中欲求最大值，故可设,
故原式转化为，
当且仅当时取等，显然最大值为.
故选：D
8．C
【详解】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：C
9．CD
【详解】由正弦定理，
得，
又因为，所以，
因为，所以或.
故选：CD.
10．ABC
【详解】设，．，．
若，则，，所以，，所以A正确；
若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确；
若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确；
取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
11．BCD
【详解】对于A项，由，
令，则，故A项错误；
对于B项，令，则，
因，故，
令，则①，
知函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由①③ 可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；
对于C项，令，则，
因，，，
故得：，故C项正确；
对于D项，由上可知：，则，
故函数的一个周期为8.
令，则，即有，
因函数是偶函数，故有，
由函数的一个周期为8，则，
由上知：，
于是：，
则，故D项正确.
故选：BCD.
12．1或0
【详解】,
,或，
故或.
故答案为：1或0
13． 2
【详解】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得，
由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为，
圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为.
故答案为：；；
14．/0.25
【详解】由题设，有，又，则，
又，则，
故存在使成立，则，
所以，令，故，
所以，且，
而，仅当，即等号成立，
所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.
故答案为：
15．（1）；（2）定义域为，单调性见解析.
【详解】（1） 当 时，，
所以
又，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
（2）当时， ，
∴函数 的定义域为 ，
∴，
当时，，当时，，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递减.
16．(1)分布列见解析；期望为
(2)
【详解】（1）依题意，，
则，，
，
，
故的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故．
（2）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于”，
则，
“次试验中，成功了0次或1次”，
“次试验中，成功了0次”的概率；
“次试验中，成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，
故，
所以，
令，
则，
两式相减得：，
则．即
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，得，
由平面，平面，则，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面 平面．
（2）将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知，，
由平面，平面，则，，，
所以，.
可得，
设到平面的距离为h，又，
则，可得，
设与平面所成角为，，则.
18．(1)；
(2)①证明见解析 ；②或.
【详解】（1）圆F：的圆心，半径，
如下左图，，
如上右图，，
因此，
点T的轨迹是以点E、F为焦点，且实轴长为的双曲线，其中焦距，虚半轴长，
所以点T的轨迹方程为.
（2）①设点，，直线AB的方程为，
由消去y得，
其中，且，
，，
由点 在曲线C上，得，显然直线MA和直线MB关于对称，
直线MA和直线MB的斜率满足，即，
整理得，
即，
整理得，
即，
于是，即，则或，
当，直线方程为，此直线过定点，不符合题意，
所以直线AB的斜率为定值.
②由①知，，显然，即，
当时，，，即，，
，解得或，
当时，，不符合题意，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为，
所以直线AB的方程为或.
19．(1)或
(2)证明详见解析
(3)
【详解】（1）依题意，当，时有：
或.
（2）当时，
因为与不同时在数对序列中，
所以，所以每个数至多出现次，
又因为，
所以只有对应的数可以出现次，
所以.
（3）当为奇数时，先证明.
因为与不同时在数对序列中，
所以，
当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为.
对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：
首先，对于如下个数对集合：
，
，
……
，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，
所以，
其次，对每个不大于的偶数，
将如下个数对并为一组：
，
共得到组，将这组对数以及，
按如下方式补充到的后面，
即
.
此时恰有项，所以.
综上，当为奇数时，
.
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．或 B． C．或 D．1
3．在前项和为的等差数列中，，，则（ ）
A．3 B．10 C．15 D．25
4．已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与不垂直，则与一定不垂直
B．若与不平行，则与一定是异面直线
C．若，且，则与可能平行
D．若，则与可能垂直
5．某学校举办运动会，径赛类共设100米 200米 400米 800米 1500米5个项目，田赛类共设铅球 跳高 跳远 三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ）
A．70 B．140 C．252 D．504
6．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在中，，，，则可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则
C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数
11．已知定义域为的函数，满足 ，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合,，则
13．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
14．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程．
（2） 时，若，求的定义域，并分析其单调性．
16．（本题15分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．
(1)若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）
17．（本题15分）如图，在三棱台中，平面，，，.
(1)求证：平面 平面；
(2)求与平面所成角正弦值.
18．（本题17分）已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点 ，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．
19．（本题17分）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
(1)当，时，写出所有满足的数对序列；
(2)当时，证明：；
(3)当为奇数时，记的最大值为，求.
参考答案：
1．D
【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故选：D．
2．C
【详解】因为椭圆，离心率为，
当其焦点在上时，，则，
所以，又，解得；
当其焦点在上时，，则，
所以，又，解得；
综上，或.
故选：C.
3．C
【详解】设 的通项公式为 ，其中 是首项，是公差，
则 ， ，
由题意 ，解得 ，又 ，
代入得 ，得 ，得.
故选：C
4．D
【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误；
对B：当时，与不是异面直线，故B错误；
对C：若，且，与为异面直线，故C错误；
对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确.
故选：D.
5．B
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，
所以此时满足题意的选法有，
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，
所以此时满足题意的选法有，
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.
故选：B.
6．A
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故
又，则，
故，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
故选：A
7．D
【详解】法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
代入原式并化简得，
令，因为题设中欲求最大值，故可设,
故原式转化为，
当且仅当时取等，显然最大值为.
故选：D
8．C
【详解】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：C
9．CD
【详解】由正弦定理，
得，
又因为，所以，
因为，所以或.
故选：CD.
10．ABC
【详解】设，．，．
若，则，，所以，，所以A正确；
若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确；
若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确；
取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
11．BCD
【详解】对于A项，由，
令，则，故A项错误；
对于B项，令，则，
因，故，
令，则①，
知函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由①③ 可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；
对于C项，令，则，
因，，，
故得：，故C项正确；
对于D项，由上可知：，则，
故函数的一个周期为8.
令，则，即有，
因函数是偶函数，故有，
由函数的一个周期为8，则，
由上知：，
于是：，
则，故D项正确.
故选：BCD.
12．1或0
【详解】,
,或，
故或.
故答案为：1或0
13． 2
【详解】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得，
由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为，
圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为.
故答案为：；；
14．/0.25
【详解】由题设，有，又，则，
又，则，
故存在使成立，则，
所以，令，故，
所以，且，
而，仅当，即等号成立，
所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.
故答案为：
15．（1）；（2）定义域为，单调性见解析.
【详解】（1） 当 时，，
所以
又，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
（2）当时， ，
∴函数 的定义域为 ，
∴，
当时，，当时，，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递减.
16．(1)分布列见解析；期望为
(2)
【详解】（1）依题意，，
则，，
，
，
故的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故．
（2）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于”，
则，
“次试验中，成功了0次或1次”，
“次试验中，成功了0次”的概率；
“次试验中，成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，
故，
所以，
令，
则，
两式相减得：，
则．即
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，得，
由平面，平面，则，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面 平面．
（2）将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知，，
由平面，平面，则，，，
所以，.
可得，
设到平面的距离为h，又，
则，可得，
设与平面所成角为，，则.
18．(1)；
(2)①证明见解析 ；②或.
【详解】（1）圆F：的圆心，半径，
如下左图，，
如上右图，，
因此，
点T的轨迹是以点E、F为焦点，且实轴长为的双曲线，其中焦距，虚半轴长，
所以点T的轨迹方程为.
（2）①设点，，直线AB的方程为，
由消去y得，
其中，且，
，，
由点 在曲线C上，得，显然直线MA和直线MB关于对称，
直线MA和直线MB的斜率满足，即，
整理得，
即，
整理得，
即，
于是，即，则或，
当，直线方程为，此直线过定点，不符合题意，
所以直线AB的斜率为定值.
②由①知，，显然，即，
当时，，，即，，
，解得或，
当时，，不符合题意，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为，
所以直线AB的方程为或.
19．(1)或
(2)证明详见解析
(3)
【详解】（1）依题意，当，时有：
或.
（2）当时，
因为与不同时在数对序列中，
所以，所以每个数至多出现次，
又因为，
所以只有对应的数可以出现次，
所以.
（3）当为奇数时，先证明.
因为与不同时在数对序列中，
所以，
当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为.
对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：
首先，对于如下个数对集合：
，
，
……
，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，
所以，
其次，对每个不大于的偶数，
将如下个数对并为一组：
，
共得到组，将这组对数以及，
按如下方式补充到的后面，
即
.
此时恰有项，所以.
综上，当为奇数时，
.
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