2023-2024学年广东省深圳市九年级下学期开学考模拟综合
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023·龙江模拟）如图，由6个同样大小的正方体摆成的几何体，在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，所得的几何体（ ）
A．主视图改变，左视图不变 B．俯视图改变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图改变
2．（2014·杭州）已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
3．（2017·商河模拟）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
4．（2023八下·莆田期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
5．（2024九上·乌鲁木齐期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点
C．抛一枚硬币，出现正面
D．任意写一个整数，它能被整除
6．（2018九上·罗湖期末）如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为l：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为（ ）
A．8cm B．20cm C．3.2cm D．10cm
7．（2022·马鞍山模拟）电影《长津湖》真实生动地诠释了中国人民伟大的抗美援朝精神，一上映就受到观众的追捧，第一天票房收入2.05亿元，前三天的票房累计收入达到10.53亿元．若每天票房收入的增长率都为x，依题意可列方程（ ）
A．2.05（1＋x）＝10.53
B．2.05（1＋x）2＝10.53
C．2.05＋2.05（1＋x）2＝10.53
D．2.05＋2.05（1＋x）＋2.05（1＋x）2＝10.53
8．（2023八下·黄山期末）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则平行四边形是菱形
B．若，则平行四边形是矩形
C．若，则平行四边形是矩形
D．若且，则平行四边形是正方形
9．（2023八上·长春月考）如图，在中，，下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022九下·重庆开学考）如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
二、填空题
11．（2023九上·黄浦期中）如果，那么 ．
12．（2021·百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点.若AC＝2，则BD＝ .
13．（2017·海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
14．（2021·郫都模拟）平面直角坐标系 中，矩形ABOC的顶点 ，点B在x轴上，双曲线 分别交两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合.若折叠后， 是等腰三角形，则此时点D的坐标为 .
15．（2023·深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，，，，点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则MC长为
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2019·广州模拟）解方程： （配方法）
17．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末） 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的中点只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图中的边上确定一点，连结，使．
（2）在图中的边上确定一点，连结，使．
（3）在图中的边上确定一点，连结，使．
18．（2021·光明模拟）某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（ ）随销售单价x（元/ ）的变化而变化，满足函数关系式 ，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
19．（2020九上·港南期末）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
20．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
21．（2023九上·青秀月考）【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
（1）任务1 确定桥拱形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3 拟定设计方案：请你设计一种符合所有悬挂条件的方案．
22．（2023九上·深圳期中）[温故知新]
在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图1给出如下证明思路：作CF∥AD交DE的延长线于点F，再证△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，即可证明定理．
（1）[新知体验]
小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题的目的．如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AC=3，BD=4，AD=1，则BC的值为
（2）[灵活运用]
如图3，在矩形ABCD和ABEF中，连接DF、AE交于点G，连接DB．若AE=DF=DB，求∠FGE的度数；
（3）[拓展延伸]
如图4在第(2)题的条件下，连接BF，若AB=4D=，求△BEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察所给的几何体，∵在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，
∴所得的几何体主视图改变，左视图不变，俯视图不变，
故答案为：A.
【分析】先观察所给的几何体，再根据主视图，左视图和俯视图的定义一 一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面半径为3，高为4，
∴圆锥母线长为5，
∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2．
故选：B．
【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣ ，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣ 且k≠0．
故选D．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
4．【答案】B
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图形变化，可以发现，四边形AFCE首先变为平行四边形，然后变为菱形，再变为平行四边形，最后变成矩形；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称的定义以及矩形的性质，可得四边形AECF首先变为平行四边形，然后变为菱形，再变为平行四边形，最后当A点于B点重合时变成矩形.
5．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：、选项中取到红球的概率是；
、选项中出现点的概率是；
、选项中出现正面的概率是；
、选项中能被整除的概率即为偶数的概率为；
由图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，所以符合条件的只有．
故答案为：．
【分析】先分别求出每个选项中的概率，再由频率统计图估计出的概率，最后作比较得出答案。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解 ：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴5：x=1：2，
解得x=10.
故答案为 ；D .
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解 .
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：第一天票房收入为2.05亿元，每天票房收入的增长率都为x
则第二天的票房收入为2.05（1＋x）
第三天的票房收入为2.05（1＋x）2
则由题意可得：2.05＋2.05（1＋x）＋2.05（1＋x）2＝10.53
故答案为：D
【分析】根据题意列出方程
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A ：对角线相等的平行四边形是菱形，原描述不正确，是假命题，不选；
B ：∠ABD=∠BDC(两直线平行内错角相等) ∴∠ABD=∠ACD=∠BDC ∴OC=OD ∴2OC=2OD 即AC=BD， ∴ 改平行四边形是矩形，描述正确，是真命题；
C ：对角线平分一组对角不能证明平行四边形是矩形，假命题；
D ：对角线互相垂直，且邻边相等的平行四边形是菱形不一定是正方形，假命题。
故答案为：B
【分析】准确记牢并灵活应用由平行四边形证明矩形、菱形、正方形的判定定理。
9．【答案】D
【知识点】作图-三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：A.
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠B=60°，
由作图知BC=CT，
∴△CBT是等边三角形，
∴BC=BT，
∵AB=2BC
∴BT=AT
∴直线CT平分△ABC的面积。
B.由作图可知EF垂直平分线段AC，
∴CD=AD
∴中线BD平分△ABC的面积。
C.
由作图可知，∠A=∠RCA，
∴CR=AR
∴∠CRB=∠B=60°
∴△CBR是等边三角形，
∴CR=BR
∴BR=AR
∴直线CR平分△ABC的面积。
故选项A，B，C不符合题意，
故答案为：D.
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两等分，一一判断可得出结论。
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
11．【答案】
【知识点】比的性质
【解析】【解答】
解：
∵x：y=5：3，∴y=0.6x，
∴
故答案为：
【分析】由已知条件推导出y=0.6x，再代入进行化简求值。方法不唯一。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，可求出∠A的度数，利用角平分线的定义可得到∠ACD，∠BCD的度数，利用等腰三角形的判定和性质，可得到AD=CD；再证明△ABC∽△CBD；然后证明AD=CD=BC，可推出AD2=BD·AB，根据AD>BD，利用D是AB的黄金分割点，可求出AD的长，由此可求出BD的长.
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为： ．
【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
14．【答案】 或
【知识点】反比例函数的定义；等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过D点作 ，
①当 时，如图3，有 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ；
②当 时，如图4，
在 中， ，
，
，
，
，
，即 ；
③当 时， ，
，
，即 ，
，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
，
综上所述，所求D点坐标为 或 .
【分析】分三种情况讨论：① ，② ，③ ，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答.
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点M作于点T，于点R，
，
，
由翻折的性质可得MP=MC，，
，
，
，
，
BM平分，
，
，，
设TM=TN=x，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】过点M作于点T，于点R，证明，得到MT=MR，推出BM平分，推出，，设TM=TN=x，根据面积法构造关于x的方程解出，最后利用勾股定理即可解出结果.
16．【答案】解：方程变形得：
配方得： ，即
开方得：
解得： ，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解方程即可.
17．【答案】（1）解：如图中，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求；
（3）解：如图中，线段即为所求．
【知识点】作图﹣相似变换；作图-平行线
【解析】【分析】（1）利用平行线的作图方法作出点E即可；
（2）过点D作BC的平行线，与AC的交点即是点F；
（3）利用相似三角形的作图方法作出点G即可.
18．【答案】（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y=（x-50） w-3000=（x-50） （-2x+240）-3000=-2x2+340x-15000；
∵y=-2x2+340x-15000=-2（x-85）2-550，
∴当x=85时，y的值最大为-550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为-550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
∴（x-50） （-2x+240）=2250，
解得，x1=75，x2=95．
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程，再化简即可；
（2）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程求解即可。
19．【答案】（1）20；50
（2）360
（3）解：列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P= .
【知识点】列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】（1）m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%=50；
如图所示；50×20%=10（人）．
（ 2 ）1500×24%=360；
【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%=50；（2）由1500×24%=360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案
20．【答案】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，而∠CAD=∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO BD，∵CF⊥BE，∴BC2=BF BE，∴BO BD=BF BE，即而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）∵BC=CD=6，而DE=CE，∴DE=4，CE=2，在Rt△BCE中，BE==2，在Rt△OBC中，OB=BC=3，∵△BOF∽△BED，∴，即∴OF=．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2=AD AB；
【结论运用】（1）根据射影定理得BC2=BO BD，BC2=BF BE，则BO BD=BF BE，即，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；
（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2，OB=3，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到，即，然后利用比例性质求OF．
21．【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为，
把点代入上式得，
解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是；
（3）解：方案一：如图（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为；
方案二：如图，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法即可求解；
（2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可得悬挂点的纵坐标最小值是-1.8m，
由此得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解自变量的取值范围；
（3）方案一、从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可得一共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼横坐标为；方案二、根据顶点一侧悬挂5盏灯笼和4盏灯笼进行讨论，可得顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，再根据抛物线的对称性即可得出结论.
22．【答案】（1）4
（2）解：连结AC、CE，如图3，
∵矩形ABCD，ABEF为平行四边形，
∴DC∥AB∥EF且DC=AB=EF，
∴DFEC为平行四边形，∴DF=CE，
∵ABCD为矩形，∴AC=DB，
∵AE=DF=DB．∴AE=CE=AC，
即△ACE是一个等边三角形，∴∠AEC=60°，
∵DF∥CE，∴∠FGE=∠AEC=60°；
（3）解：设AC与BD相交于点Q，如图4，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，∴AC与BD互相垂直平分，
∵AB=，∴AQ=BQ==4
∴AE=BD=AC=2AQ=8
∵EA=EC，BA=BC，∴BE是线段AC的中垂线，
又∵BD也是线段AC的中垂线，∴E、B、D三点共线，
在Rt△AEQ中，∠AQE=90°，QE=，
∴BE=-4，∴AF∥BE，AQ⊥BE∴△BEF的BE边上的高等于AQ=4
∴S△BEF=×4×(-4)=-8．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，
又∵AD∥BC，AC=3，AD=1 ，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC=3，CE=AD=1，
∵DE∥AC，AC⊥BD
∴∠BDE=90°，
∴BE==5，
则BC=BE-CE=4；
故答案为：4.
【分析】（1）过点D作DE∥AC，可知四边形ADEC是平行四边形，进而得出∠BDE=90°，运用勾股定理即可求得答案；
（2）连结AC、CE， 根据矩形和平行四边形的性质，可得到DFEC为平行四边形，而且△ACE是一个等边三角形，而要求的 ∠FGE 与 ∠AEC 是内错角，即可得出答案；
（3）设AC与BD相交于点Q，根据已知可知四边形ABCD是正方形 ，再根据正方形的性质可得出AE=BD=AC=2AQ=8，根据中垂线的性质可判断出E、B、D三点共线 ，通过勾股定理求出QE的长，则可以算出BE的长度，继而由三角形面积公式可得出答案．
1 / 12023-2024学年广东省深圳市九年级下学期开学考模拟综合
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2023·龙江模拟）如图，由6个同样大小的正方体摆成的几何体，在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，所得的几何体（ ）
A．主视图改变，左视图不变 B．俯视图改变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图改变
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察所给的几何体，∵在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，
∴所得的几何体主视图改变，左视图不变，俯视图不变，
故答案为：A.
【分析】先观察所给的几何体，再根据主视图，左视图和俯视图的定义一 一判断求解即可。
2．（2014·杭州）已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面半径为3，高为4，
∴圆锥母线长为5，
∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2．
故选：B．
【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．
3．（2017·商河模拟）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣ ，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣ 且k≠0．
故选D．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
4．（2023八下·莆田期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图形变化，可以发现，四边形AFCE首先变为平行四边形，然后变为菱形，再变为平行四边形，最后变成矩形；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称的定义以及矩形的性质，可得四边形AECF首先变为平行四边形，然后变为菱形，再变为平行四边形，最后当A点于B点重合时变成矩形.
5．（2024九上·乌鲁木齐期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点
C．抛一枚硬币，出现正面
D．任意写一个整数，它能被整除
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：、选项中取到红球的概率是；
、选项中出现点的概率是；
、选项中出现正面的概率是；
、选项中能被整除的概率即为偶数的概率为；
由图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，所以符合条件的只有．
故答案为：．
【分析】先分别求出每个选项中的概率，再由频率统计图估计出的概率，最后作比较得出答案。
6．（2018九上·罗湖期末）如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为l：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为（ ）
A．8cm B．20cm C．3.2cm D．10cm
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解 ：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴5：x=1：2，
解得x=10.
故答案为 ；D .
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解 .
7．（2022·马鞍山模拟）电影《长津湖》真实生动地诠释了中国人民伟大的抗美援朝精神，一上映就受到观众的追捧，第一天票房收入2.05亿元，前三天的票房累计收入达到10.53亿元．若每天票房收入的增长率都为x，依题意可列方程（ ）
A．2.05（1＋x）＝10.53
B．2.05（1＋x）2＝10.53
C．2.05＋2.05（1＋x）2＝10.53
D．2.05＋2.05（1＋x）＋2.05（1＋x）2＝10.53
【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：第一天票房收入为2.05亿元，每天票房收入的增长率都为x
则第二天的票房收入为2.05（1＋x）
第三天的票房收入为2.05（1＋x）2
则由题意可得：2.05＋2.05（1＋x）＋2.05（1＋x）2＝10.53
故答案为：D
【分析】根据题意列出方程
8．（2023八下·黄山期末）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则平行四边形是菱形
B．若，则平行四边形是矩形
C．若，则平行四边形是矩形
D．若且，则平行四边形是正方形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A ：对角线相等的平行四边形是菱形，原描述不正确，是假命题，不选；
B ：∠ABD=∠BDC(两直线平行内错角相等) ∴∠ABD=∠ACD=∠BDC ∴OC=OD ∴2OC=2OD 即AC=BD， ∴ 改平行四边形是矩形，描述正确，是真命题；
C ：对角线平分一组对角不能证明平行四边形是矩形，假命题；
D ：对角线互相垂直，且邻边相等的平行四边形是菱形不一定是正方形，假命题。
故答案为：B
【分析】准确记牢并灵活应用由平行四边形证明矩形、菱形、正方形的判定定理。
9．（2023八上·长春月考）如图，在中，，下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图-三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：A.
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠B=60°，
由作图知BC=CT，
∴△CBT是等边三角形，
∴BC=BT，
∵AB=2BC
∴BT=AT
∴直线CT平分△ABC的面积。
B.由作图可知EF垂直平分线段AC，
∴CD=AD
∴中线BD平分△ABC的面积。
C.
由作图可知，∠A=∠RCA，
∴CR=AR
∴∠CRB=∠B=60°
∴△CBR是等边三角形，
∴CR=BR
∴BR=AR
∴直线CR平分△ABC的面积。
故选项A，B，C不符合题意，
故答案为：D.
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两等分，一一判断可得出结论。
10．（2022九下·重庆开学考）如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
二、填空题
11．（2023九上·黄浦期中）如果，那么 ．
【答案】
【知识点】比的性质
【解析】【解答】
解：
∵x：y=5：3，∴y=0.6x，
∴
故答案为：
【分析】由已知条件推导出y=0.6x，再代入进行化简求值。方法不唯一。
12．（2021·百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点.若AC＝2，则BD＝ .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，可求出∠A的度数，利用角平分线的定义可得到∠ACD，∠BCD的度数，利用等腰三角形的判定和性质，可得到AD=CD；再证明△ABC∽△CBD；然后证明AD=CD=BC，可推出AD2=BD·AB，根据AD>BD，利用D是AB的黄金分割点，可求出AD的长，由此可求出BD的长.
13．（2017·海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为： ．
【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
14．（2021·郫都模拟）平面直角坐标系 中，矩形ABOC的顶点 ，点B在x轴上，双曲线 分别交两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合.若折叠后， 是等腰三角形，则此时点D的坐标为 .
【答案】 或
【知识点】反比例函数的定义；等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过D点作 ，
①当 时，如图3，有 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ；
②当 时，如图4，
在 中， ，
，
，
，
，
，即 ；
③当 时， ，
，
，即 ，
，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
，
综上所述，所求D点坐标为 或 .
【分析】分三种情况讨论：① ，② ，③ ，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答.
15．（2023·深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，，，，点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则MC长为
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点M作于点T，于点R，
，
，
由翻折的性质可得MP=MC，，
，
，
，
，
BM平分，
，
，，
设TM=TN=x，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】过点M作于点T，于点R，证明，得到MT=MR，推出BM平分，推出，，设TM=TN=x，根据面积法构造关于x的方程解出，最后利用勾股定理即可解出结果.
三、解答题(本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2019·广州模拟）解方程： （配方法）
【答案】解：方程变形得：
配方得： ，即
开方得：
解得： ，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解方程即可.
17．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末） 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的中点只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图中的边上确定一点，连结，使．
（2）在图中的边上确定一点，连结，使．
（3）在图中的边上确定一点，连结，使．
【答案】（1）解：如图中，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求；
（3）解：如图中，线段即为所求．
【知识点】作图﹣相似变换；作图-平行线
【解析】【分析】（1）利用平行线的作图方法作出点E即可；
（2）过点D作BC的平行线，与AC的交点即是点F；
（3）利用相似三角形的作图方法作出点G即可.
18．（2021·光明模拟）某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（ ）随销售单价x（元/ ）的变化而变化，满足函数关系式 ，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【答案】（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y=（x-50） w-3000=（x-50） （-2x+240）-3000=-2x2+340x-15000；
∵y=-2x2+340x-15000=-2（x-85）2-550，
∴当x=85时，y的值最大为-550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为-550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
∴（x-50） （-2x+240）=2250，
解得，x1=75，x2=95．
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程，再化简即可；
（2）根据“销售利润=单价×销售量-成本-投资”列出方程求解即可。
19．（2020九上·港南期末）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】（1）20；50
（2）360
（3）解：列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P= .
【知识点】列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】（1）m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%=50；
如图所示；50×20%=10（人）．
（ 2 ）1500×24%=360；
【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%=50；（2）由1500×24%=360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案
20．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
【答案】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，而∠CAD=∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO BD，∵CF⊥BE，∴BC2=BF BE，∴BO BD=BF BE，即而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）∵BC=CD=6，而DE=CE，∴DE=4，CE=2，在Rt△BCE中，BE==2，在Rt△OBC中，OB=BC=3，∵△BOF∽△BED，∴，即∴OF=．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2=AD AB；
【结论运用】（1）根据射影定理得BC2=BO BD，BC2=BF BE，则BO BD=BF BE，即，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；
（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2，OB=3，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到，即，然后利用比例性质求OF．
21．（2023九上·青秀月考）【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
（1）任务1 确定桥拱形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3 拟定设计方案：请你设计一种符合所有悬挂条件的方案．
【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为，
把点代入上式得，
解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是；
（3）解：方案一：如图（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为；
方案二：如图，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法即可求解；
（2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可得悬挂点的纵坐标最小值是-1.8m，
由此得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解自变量的取值范围；
（3）方案一、从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可得一共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼横坐标为；方案二、根据顶点一侧悬挂5盏灯笼和4盏灯笼进行讨论，可得顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，再根据抛物线的对称性即可得出结论.
22．（2023九上·深圳期中）[温故知新]
在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图1给出如下证明思路：作CF∥AD交DE的延长线于点F，再证△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，即可证明定理．
（1）[新知体验]
小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题的目的．如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AC=3，BD=4，AD=1，则BC的值为
（2）[灵活运用]
如图3，在矩形ABCD和ABEF中，连接DF、AE交于点G，连接DB．若AE=DF=DB，求∠FGE的度数；
（3）[拓展延伸]
如图4在第(2)题的条件下，连接BF，若AB=4D=，求△BEF的面积．
【答案】（1）4
（2）解：连结AC、CE，如图3，
∵矩形ABCD，ABEF为平行四边形，
∴DC∥AB∥EF且DC=AB=EF，
∴DFEC为平行四边形，∴DF=CE，
∵ABCD为矩形，∴AC=DB，
∵AE=DF=DB．∴AE=CE=AC，
即△ACE是一个等边三角形，∴∠AEC=60°，
∵DF∥CE，∴∠FGE=∠AEC=60°；
（3）解：设AC与BD相交于点Q，如图4，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，∴AC与BD互相垂直平分，
∵AB=，∴AQ=BQ==4
∴AE=BD=AC=2AQ=8
∵EA=EC，BA=BC，∴BE是线段AC的中垂线，
又∵BD也是线段AC的中垂线，∴E、B、D三点共线，
在Rt△AEQ中，∠AQE=90°，QE=，
∴BE=-4，∴AF∥BE，AQ⊥BE∴△BEF的BE边上的高等于AQ=4
∴S△BEF=×4×(-4)=-8．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，
又∵AD∥BC，AC=3，AD=1 ，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC=3，CE=AD=1，
∵DE∥AC，AC⊥BD
∴∠BDE=90°，
∴BE==5，
则BC=BE-CE=4；
故答案为：4.
【分析】（1）过点D作DE∥AC，可知四边形ADEC是平行四边形，进而得出∠BDE=90°，运用勾股定理即可求得答案；
（2）连结AC、CE， 根据矩形和平行四边形的性质，可得到DFEC为平行四边形，而且△ACE是一个等边三角形，而要求的 ∠FGE 与 ∠AEC 是内错角，即可得出答案；
（3）设AC与BD相交于点Q，根据已知可知四边形ABCD是正方形 ，再根据正方形的性质可得出AE=BD=AC=2AQ=8，根据中垂线的性质可判断出E、B、D三点共线 ，通过勾股定理求出QE的长，则可以算出BE的长度，继而由三角形面积公式可得出答案．
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