(共26张PPT)
17.1.1勾股定理
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
2.会用勾股定理进行简单的计算
新知导入
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形的图案（如图所示），看看能从中发现什么数量关系。
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前580-约前500），古希腊注明的哲学家、数学家、天文学家
新知讲解
注意观察，你能有什么发现？
换成下图你有什发现？说出你的观点.
A
B
C
新知讲解
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
a
b
c
新知讲解
观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
？
怎样计算正方形C的面积呢？
等腰直角三角形有上述性质，其他直角三角形是否也有这个性质？
新知讲解
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1 SA=( ) SB=( ) SC=( )
图2 SA'=( ) SB'=( ) SC'=( )
观察图，请分别算出图中正方形A、B、C、A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论。
9
9
18
提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。
4
4
8
结论：SA+SB=SC
SA'+SB'=SC'
a
b
c
新知讲解
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
新知讲解
赵爽弦图基本思路：
1.（1）把边长为a,b的两个正方形连在一起，它的面积为a2+b2
(2)这两个图形可分割成四个全等的直角三角形（蓝色）和一个正方形（黄色）
a
c
b
新知讲解
b
a
c
2.把左右两个三角形移到图中所示位置，就会形成一个以c为边长的正方形
（2）
新知讲解
b
a
c
（3）
b
c
（1）
a
因为（1）与（3）都由四个全等的直角三角形（蓝色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等。
即a2+b2=c2
归纳总结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
典例精析
例.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)根据勾股定理得
c=
(2)根据勾股定理得
a
b
c
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列说法正确的是 ( )
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，则BC等于 ( )
A.1 B． C． D．
D
B
3.如图，分别以Rt△ABC的边AB，AC，BC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝6，则S1＋S2＋S3的值为( C )
A.18 B.15 C.12 D.9
4.直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 _____________.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
C
或
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD=，∴BC=BD+CD=1+ ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ．
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
A
B
C
D
E
解：如图所示,正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12.
设直角三角形的斜边长为c .由勾股定理知,
122+162=c2,c=20 ，即正方形F的边长为20.
同理可得， 正方形G的边长为15.
故直角三角形的两直角边分别为20，15.
设它的斜边长为k，由勾股定理知,
202+152=k2，k=25.
正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625
课堂总结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
板书设计
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC＝3，BC＝4时，阴影部分的面积为 .
2.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
6
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°，AE=6,
BE=8，则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
4.如图，网格的边长为1，在△ABC中，边长为无理数的边数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.设a＝，b＝2，c＝.若a，b，c 为Rt△ABC 三边长，求x的值.
解：(2)方法一：分三种情况①当a2＋
解：(2)方法一：分三种情况：
①当a2＋b2＝c2，即8－x＋4＝6，解得x＝6；
②当a2＋c2＝b2，即8－x＋6＝4，解得x＝10；
③当b2＋c2＝a2，即4＋6＝8－x，解得x＝－2.
又∵x≤8，∴x＝6或－2.
方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边且c＞b，
∴存在两种情况：
①当a2＋b2＝c2，即8－x＋4＝6，解得x＝6；
②当b2＋c2＝a2，即4＋6＝8－x，解得x＝－2.
∴x＝6或－2.
作业布置
【综合拓展类作业】
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，边AB的垂直平
分线DE分别与AC，AB相交于点D，E.
(1)则△BCD的周长为 ；
7
(2)求△BCD的面积.
解：设CD＝x，则BD＝AD＝4－x.
∵在Rt△BCD中，
∠DCB＝90°，
∴BC2＋CD2＝BD2，
即32＋x2＝(4－x)2，解得x＝.
∴S△BCD＝BC·CD＝×3×＝.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《17.1.1勾股定理》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 勾股定理是初等几何中最重要的定理之一.本章节勾股定理课时内容，是在前面章节对直角三角形边或角的关系已有初步研究的基础上，更精确地研究直角三角形三边之间的数量关系，体现从定性到定量的研究思路.勾股定理是直角三角形一条极其重要的性质定理，对后续学习锐角三角函数、四边形、圆等其他几何内容具有重要的奠基作用.
学习者分析 八年级的学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对用割补的方法及面积法证明几何命题的意识和能力还比较弱.对于如何将图形与数量关系有机地结合还很陌生，因此在教学中让学生直接发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方有一定难度，这就需要由浅入深的设置问题.
教学目标 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 2.会用勾股定理进行简单的计算
教学重点 探索和证明勾股定理
教学难点 用面积法证明勾股定理
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形的图案（图17.1-1），看看能从中发现什么数量关系。 注意观察，你能有什么发现？学生活动1： 学生观察图，回答问题活动意图说明：出示情境在展示知识的同时营造了一个具有浓郁文化气息的文化场，学生潜移默化的接受数学文化熏陶与感染的同时，激发起他们浓烈的好奇心与求知欲.环节二：教师活动2： 换成下图你有什么发现？说出你的观点. 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ 一直角边2+另一直角边2=斜边2 等腰直角三角形有上述性质，其他直角三角形是否也有这个性质？ 观察右边两幅图： 怎样计算正方形C的面积呢？ 观察图，请分别算出图中正方形A、B、C、A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论。 图1SA=( )SB=( ) SC=( )图2SA'=( )SB'=( )SC'=( )
结论：SA+SB=SC SA'+SB'=SC' 由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 展示赵爽弦图的图形变化给出拼接法. 仔细观察赵爽弦图，思考能否从图形面积关系发现其他证明思路. 拼接前 a2+b2=4× ab+(b-a)2 拼接后 c2=4×ab+(b-a)2 ∴a2+b2=c2. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，便有“”.因此，这个定理又被称为“勾股定理”. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，那么. 学生活动2： 学生观察图形，计算 图 形 面积，可能会有割和补两种方法求正方形 C 的面积. 学生提出猜想，并指出命题的已知和求证. 学生观察图形并思考，学生先画草图分析，再小组合作拼图验证. 学生叙述几何语言.活动意图说明：通过经历定理的验证过程，使学生对定理的理解更加深刻，进一步体会数形结合思想.环节三：教师活动3： 例.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）若a=b=5，求c; （2）若a=1,c=2，求b. 解：（1）根据勾股定理得 c= （2）根据勾股定理得 学生活动3： 独立完成例题的学习，小组讨论交流自己的收获活动意图说明：学 生能够体会勾股定理的应用价值，并用勾股定理已知两边求第三边的边长.
板书设计 勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。 即：a2+b2 =c2
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法正确的是 ( ) A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，则BC等于 ( ) A.1 B． C． D． 3.如图，分别以Rt△ABC的边AB，AC，BC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝6，则S1＋S2＋S3的值为（ ) A.18 B.15 C.12 D.9 4.直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 _____________. 选做题： 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 【综合拓展类作业】 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC＝3，BC＝4时，阴影部分的面积为 . 2.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ) A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6,BE=8，则阴影部分的面积是( ) A.48 B.60 C.76 D.80 4.如图，网格的边长为1，在△ABC中，边长为无理数的边数是（ ) A.0 B.1 C.2 D.3 选做题： 5.设a＝，b＝2，c＝.若a，b，c 为Rt△ABC 三边长，求x的值. 【综合拓展类作业】 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，边AB的垂直平
分线DE分别与AC，AB相交于点D，E. (1）则△BCD的周长为 ； （2）求△BCD的面积.
教学反思 教材中有许多典型的练习题，教材提供给我们的教学重点、难点都很值得我们充分地利用和挖掘。 通过环环相扣的问题的设立与拼图的设置，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。 在教学的过程中，应该留给学生充分独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册17章
课标要求 1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；2.通过具体的例子，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
内容分析 勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜想→证明的基本流程.
学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。
单元目标 （一）教学目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程；知道这两个定理的联系与区别能运用这两个定理解决一些简单的实际问题.2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几何问题.3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感：通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的信心.（二）教学重点、难点教学重点：勾股定理及其逆定理的探索与运用教学难点：勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数17.1 勾股定理317.2勾股定理逆定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1勾股定理1.掌握勾股定理2.理解勾股定理的几何意义3.用勾股定理解决实际问题学生会用几何图形探究勾股定理，并且能利用勾股定理解决实际问题任务1.探究勾股定理任务2.出示例题任务3.在数轴上表示无理数17.2勾股定理逆定理1．掌握勾股定理逆定理2．熟练运用勾股定理以及逆定理解决问题学生会利用勾股定理及逆定理解决实际问题任务1：探究勾股定理逆定理任务2.出示例题
《17章勾股定理》单元教学设计
活动1：通过历史故事情境引入课题
活动3：探究一般直角三角形三边关系
17.1.勾股定理(第1课时)
活动2：由特殊的等腰直角三角形得出边的关系
活动4：例题
活动1：引入课题
17.1勾股定理(第2课时)
勾股定理
活动2：例题
活动1：引入课题
活动2：证明直角三角形全等的判定定理
17.1勾股定理(第3课时)
活动3：探究在数轴上表示无理数的方法
活动4：例题
活动1：引入课题
活动2：探究勾股定理逆定理
17.2勾股定理逆定理
活动3：例题
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
