第六章 6.1 平面向量的概念
一．选择题
1．下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【答案】ABC
【解析】很明显选项A，B，C正确．共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3．下面几个命题正确的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．若|a|＝0，则a＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量a，b满足则a＝b
【答案】A
【解析】A正确．B错误，|a|＝0，则a＝0．C错误，a与b的方向不一定相同．D错误，a与b的方向有可能相反．
4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
【答案】A
【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
5．如图，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【解析】向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A．＝ B．∥
C．||＝|| D．＝
【答案】D
【解析】由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠．故选D．
7．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝．
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
【答案】①③④
【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
9．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
【答案】3π
【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π．
10．如图，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1．5，求||．
解：(1)与相等的向量有，．
(2)与共线的向量有，，，，，，．
(3)若||＝1．5，
则||＝||＝||＋||＝2||＝3．
11．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝．
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
【答案】ABC
【解析】由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选项D错误．
二．填空题
13．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
【答案】梯形
【解析】∵∥且||≠||，∴AB∥DC，但AB≠DC．∴四边形ABCD是梯形．
14．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，与向量相等的向量有________；若||＝3，则||＝________．
【答案】， 6
【解析】根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，．因为||＝3，||＝||＋||＝2||，所以||＝6．
三．解答题
15．如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解：(1)＝＝，＝＝．
(2)与共线的向量有：，，，．
(3)与的模相等的向量：＝＝＝＝＝＝＝．
(4)向量与长度相等，但方向相反，因此向量与不相等．第六章 6.1 平面向量的概念
一．选择题
1．下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
3．下面几个命题正确的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．若|a|＝0，则a＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量a，b满足则a＝b
4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
5．如图，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A．＝ B．∥
C．||＝|| D．＝
7．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
9．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
10．如图，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1．5，求||．
11．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
二．填空题
13．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
14．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，与向量相等的向量有________；若||＝3，则||＝________．
三．解答题
15．如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
