6.2.1向量的加法运算
一．选择题
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
2．下列各式中运算的结果与向量共线的有( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
8．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
9．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|＞|| B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋|| D．|＋|＜||＋||
二．填空题
10．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________．
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
12．如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＝__________；＋＝__________．
13．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．
三．解答题
14．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
15．如图，已知向量a，b，c，d．
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值． 6.2.1向量的加法运算
一．选择题
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
【答案】B
【解析】＋＋＝＋＝2≠0．故B错．
2．下列各式中运算的结果与向量共线的有( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】由向量加法法则可知都对．
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
【答案】A
【解析】因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
【答案】B
【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°．又|a＋b|＝2(km)．故选B．
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
【答案】B
【解析】由正六边形知＝，所以＋＋＝＋＋＝，所以|＋＋|＝||＝2．故选B．
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
【答案】ACD
【解析】a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝．
8．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
【答案】AC
【解析】∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．
9．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|＞|| B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋|| D．|＋|＜||＋||
【答案】D
【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|＜||＋||．
二．填空题
10．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________．
【答案】
【解析】利用三角形法则和平行四边形法则求解．
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
【答案】1
【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为||＝1，所以||＝1，所以|＋|＝||＝1．
12．如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＝__________；＋＝__________．
【答案】
【解析】由题图可知四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝．由题图可知＝＝＝，∴＋＝＋＝．
13．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．
【答案】20
【解析】如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h．
三．解答题
14．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，∴＋＝＋．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0．
15．如图，已知向量a，b，c，d．
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)．
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
这时||即|a＋e|最大，最大值是3．
