数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共43张ppt）

(共43张PPT)
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
问题思考
问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码
完成一件什么事
怎么完成这件事
英文字母
有什么要求
给一个座位编号
用一个英文字母或一个阿拉伯数字
方案1：
方案2：
用英文字母编号
用阿拉伯数字编号
26
10
26+10=36
分析：
因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出
种不同的号码.
问题思考
探究1 你能说一说这个问题的特征吗？
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到了号码的总数.
上述计数过程的基本环节是：
(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
(2)分别计算各类号码的个数;
(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
新知探究
　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有
N＝m＋n
种不同的方法．
1.分类加法计数原理
注意：两类不同方案中的方法互不相同.
典例分析
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表.
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
l
解：这名同学可以选择两所大学中的一所.在大学中有种专业选择方法，在大学中有种专业选择方法.因为没有一个强势专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为：.
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
问题思考
探究2 如果完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
++
问题思考
问题2 用前6个大写英文字母和这个阿拉伯数字，以，，…，，，,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：树状图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5A6
A7
A8
A9
与字母A对应的编号有9种
字母 数字 得到的号码
追问1：你能用树状图列出所有可能的号码吗？
问题思考
也可能这样思考：由于前个英文字母中的任意一个都能与个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码.
问题3 你能说一说这个问题的特征吗？
上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.
因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
新知探究
2.分步乘法计数原理
一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N＝m×n
种不同的方法.
注意：(1)无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数;
(2)各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成.
典例分析
例2 某班有男生名、女生名，从中任选男生和女生各名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：任选男生和女生各1人，可以分两个步骤完成：
分析：
根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为
完成一件什么事
怎么完成这件事
英文字母
有什么要求
选两名班级代表
1名男生和1名女生
第1步：
第2步：
选男生
选女生
N =30×24=720
第步，从名男生中选出人，有种不同选法；
第步，从名男生中选出人，有种不同选法.
问题思考
问题4 如果完成一件事需要三个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有类不同方案，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
典例分析
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
分析：(2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法）
解：(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为.
当堂训练
1. 填空题
(1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；
(2) 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________.
9
6
2. 在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题？
当堂训练
3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.
(1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
(2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法
4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
(1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
解：(1) 11种；(2) 30种.
解：(1) 12种；(2) 60种.
当堂训练
3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.
(1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
(2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法
4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
(1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
(2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
解：(1) 11种；(2) 30种.
解：(1) 12种；(2) 60种.
课堂小结
1.解答计数问题的一般思路：
完成一件什么事
怎么完成这件事
英文字母
有什么要求
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
课堂小结
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 区别
注意
2.两个原理的异同点
都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事
只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
新知导入
班上有25名男生，20名女生，要从中选择1人担任班长，
一共有多少种不同的选法？
分析: 可以从25名男生中选择一位担任班长，共有25种不同的选法；也可以从20名女生中选择一位担任班长，共有20种不同的选法.所以共有25+20=45种不同的选法.
新知导入
要完成一项工作，有两种方法可以完成，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选择一人来完成这项工作，有多少种不同的选法？
分析:会使用第一种方法的有5个人，所以可以有5种选法；会使用第二种方法的有4个人，可以有4种选法.所以，要完成该项工作，总共可以有5+4=9种不同的选法.
新知讲解
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1+m2+… + mn种不同的方法
分类加法计数原理
每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.
新知导入
新学期开学，甲、乙、丙3位同学从5个宿舍中挑选一个入住（可以选择相同的宿舍），可以有多少种不同的入住方法？
分析: 甲同学可以从5个宿舍中挑选一个入住，有5种方法；乙同学也可以从5个宿舍中挑选一个入住，有5种方法；丙同学也可以从5个宿舍中挑选一个入住，有5种方法.
共有5 x 5 x 5 = 125种不同的方法.
新知导入
班上有25名男生，20名女生，要分别从男生和女生中各选择1名担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
分析: 从25名男生中选择1名担任数学课代表，有25种不同的选法；从20名女生中选择1名担任数学课代表，有20种不同的选法.故共有25 x 20 = 500种不同的选法.
合作探究
思考：上述两个问题有什么共同特征？
回答：要完成上述两件事情（选宿舍、选课代表），要将每一位学生都安排好宿舍或者要从男生和女生种都选择一名数学课代表，那么这件事情才算完成.
新知讲解
完成一件事，有n个步骤. 在第1步中有m1种不同的方法，在第2步中有m2种不同的方法，…，在第n步中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1 x m2 x… x mn种不同的方法.
分步乘法计数原理
　只有各个步骤都完成才算做完这件事情.
例题讲解
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
解：从3幅不同的画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，要分两步完成：
1、从3幅画中选出1幅挂在左边墙上，有3种选法；
2、从剩下的2幅画中选出1幅挂在右边墙上，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，共有3x2=6种不同的挂法.
例题讲解
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符.
解：由分类加法计数原理，首字符共有7+6＝13种不同的选法.
即最多可以给1053个程序模块命名.
　后两个字符从1~9中选，因为数字不能重复，所以不同选法的种数都为9.
　根据分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9＝1053，
例题讲解
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成.
（1）1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
例题讲解
分析：（1）由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.
第1位
第2位
第3位
第8位
2种
2种
2种
2种
…
…
解：（1）用如右图表示1个字节.
1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2x2x2x2x2x2x2x2=28=256
例题讲解
（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法，根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数为 256 x 256=65536.
该值大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.
例题讲解
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块。
(1)这个程序模块有多少条执行路径？
(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
例题讲解
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：
第1步是从开始执行到A点；
第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
例题讲解
开始
子模块1
18条执行路径
子模块3
28条执行路径
子模块2
45条执行路径
子模块5
43条执行路径
子模块4
38条执行路径
结束
A
解：(1)由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91条；
子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81条；
由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为
91 x 81 = 7371条
例题讲解
(2)在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察
是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试
5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3 x 2 = 6.
如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，
那么整个程序模块就工作正常.
这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178（次）
例题讲解
例8 通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.
其中，序号的编码规则为：
（1）由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成；
（2）最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
例题讲解
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为：10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10000.
例题讲解
（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为
24 x 10 x 10 x 10 x10 = 240000.
同样，其余四个子类号牌也各有240000张.
根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为
240000 + 240000 + 240000 + 240000 + 240000 = 1200000.
例题讲解
（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为 24 x 24 x 10 x 10 x 10 =576000.
同样，其余九个子类号牌也各有576000张.则这类号牌张数一共为576000x10=5760000张.
例题讲解
综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为
100000 + 1200000 + 5760000 = 7060000
课堂练习
1.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A.243 B.252 C.261 D.279
B
2.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　)
A.72种 B.48种 C.24种 D.12种
A
3.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).
40
拓展提高
4.某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有___ _种.
36
5.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
60
拓展提高
6.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有（ ）
A． 6种 B． 9种 C． 12种 D． 18种
C
链接高考
7.(2016全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)
B
A.24 B.18 C.12 D.9
连接高考
8.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．
其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
B
由于题目要求的是奇数，那么对此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．