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辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷01
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合、集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．已知复数满足，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的。我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从“数学风车”的八个顶点中任取两点，则这两点取自同一片“风叶”的概率为（ ）。
A、
B、
C、
D、
4．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知，则的取值范围为
（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、。若为直角三角形，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．在等差数列中，、，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．设，则当取最小值时，下列说法正确的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
10．下列关于函数的论述正确的是（ ）。
A、函数的最小值为
B、函数在上单调递增
C、函数在上有个零点
D、曲线关于直线对称
11．定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ）。
A、在处取得极小值，极小值为
B、只有一个零点
C、若在上恒成立，则
D、
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．毕业数年后，老师甲与乙、丙、丁三个学生坐在一起聊各自现在所从事的职业，得知三个学生中一个是工程师、一个是教师、一个是法官，且丁比法官的年纪大，乙跟教师不同岁，教师比丙年纪小，则这三个学生中是工程师的
是 。
13．已知的展开式中含与的项的系数的绝对值之比为，则的最小值为 。
14．已知点在抛物线了（）上，直线交抛物线于点、，且直线与都是圆：
的切线，则直线的一般方程为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了高中生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：
编号 成绩
物理（）
数学（）
（1）求数学成绩对物理成绩的线性回归方程（精确到）。若某位学生的物理成绩为分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出位参加一项知识竞赛，记其中数学成绩高于分的学生人数为，求的分布列和数学期望。
参考公式：，。
参考数据：，。
16．（本小题满分分）在中，内角、、所对的边分别为、、，且。
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围。
17．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、的中点，为的中点，，平面平面。
（1）求的长；
（2）若，求二面角的余弦值。
18．（本小题满分分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，直线交轴于点，且（为坐标原点）。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线斜率存在，与椭圆交于、两点，且与椭圆：（）有公共点，求面积的最大值。
19．（本小题满分分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点和。
（1）试求、满足的关系式；
（2）若，各项不为零的数列的前项和为，且满足，求证：；
（3）设，为数列的前项和，求证：。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷01
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，，
，∴，故选D。
2．已知复数满足，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，故选D。
3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的。我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从“数学风车”的八个顶点中任取两点，则这两点取自同一片“风叶”的概率为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种，
其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有，
根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率，故选B。
4．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知，则的取值范围为
（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】在中，，若，则，
由余弦定理得，则，又，则，
故选D。
5．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】将平面平面，
又∵平面平面，平面，
，∴平面，
∵四边形为平行四边形，∴，
同理平面，∴、均为，
设中点为，连、，
则，为三棱锥外接球半径，
则，，
则，∴三棱锥外接球的表面积为，故选C。
6．已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、。若为直角三角形，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】双曲线：的渐近线方程为，渐近线夹角为，
若为直角三角形，则只能是过的直线与其中一条渐近线垂直，
设过的直线为：，
，解得，，解得，
∴，故选B。
7．在等差数列中，、，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】数列为等差数列，公差，则，，，
则
，
∴数列（）是递减数列，最大项为，
∴，，又是正整数，∴的最小值为，故选C。
8．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设，（），
，则，，
∵，∴，则，
又切线：，：，
于是，，∴，
联立，解得，∴，
∵，∴，∴的取值范围为，故选A。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．设，则当取最小值时，下列说法正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】AC
【解析】原式
当且仅当，即，，时，等号成立，此时，
故选AC。
10．下列关于函数的论述正确的是（ ）。
A、函数的最小值为 B、函数在上单调递增
C、函数在上有个零点 D、曲线关于直线对称
【答案】CD
【解析】A选项，，错，
B选项，当时，，在上不是单调函数，错，
C选项，当时， ，函数无零点，当，
即时，又是偶函数，
当时，，只有，
∴在时，函数有三个零点，对，
D选项，，
∴曲线关于直线对称，对，
故选CD。
11．定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ）。
A、在处取得极小值，极小值为
B、只有一个零点
C、若在上恒成立，则
D、
【答案】BCD
【解析】A选项，∵且可得：，即，
∴（为常数），又∵，∴，∴，
∴，其定义域为，，
令，解得，当时，则在内单调递增，
当时，则在内单调递减，
∴在处取得极大值，也是最大值，∴，错，
B选项，当时，当时，画出草图如图所示，
根据图像可知： 只有一个零点，对，
C选项，要保证 在上恒成立，
即保证在上恒成立，
∵，可得在上恒成立，∴只需，
令，其定义域为，∴，令，解得，
当时，，∴在内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
∴在处取得极大值，也是最大值，
∴，∴，对，
D选项，∵在内单调递增，在内单调递减，又，∴，
又∵、，∴，
根据得，
∴，∴，对，
故选BCD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．毕业数年后，老师甲与乙、丙、丁三个学生坐在一起聊各自现在所从事的职业，得知三个学生中一个是工程师、一个是教师、一个是法官，且丁比法官的年纪大，乙跟教师不同岁，教师比丙年纪小，则这三个学生中是工程师的
是 。
【答案】丙
【解析】若乙是工程师，则丙不是教师，丙只能是法官，丁只能是教师，
教师比法官的年纪大，教师比法官年纪小，矛盾，不对，
若丙是工程师，则乙不是教师，乙只能是法官，丁只能是教师，
教师比工程师的年纪小，教师比法官年纪大，不矛盾，对，
若丁是工程师，则乙不是教师，乙只能是法官，丙只能是教师，
教师比教师年纪小，矛盾，不对，
填丙。
13．已知的展开式中含与的项的系数的绝对值之比为，则的最小值为 。
【答案】
【解析】的展开式中含项的系数为，
含的项的系数为，
则由题意得，即，则。
14．已知点在抛物线了（）上，直线交抛物线于点、，且直线与都是圆：
的切线，则直线的一般方程为 。
【答案】
【解析】由点在抛物线（）上，得，∴抛物线方程为：，
圆：可化为，则可知圆的圆心为点，半径，
设过点且与圆相切的直线的方程为，即，
则，∴，，设直线的方程为，
联立得，设，则，，
同理，设，则，因此，
，
则直线的斜率，直线的方程为，
即，∴直线的一般方程为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了高中生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：
编号 成绩
物理（）
数学（）
（1）求数学成绩对物理成绩的线性回归方程（精确到）。若某位学生的物理成绩为分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出位参加一项知识竞赛，记其中数学成绩高于分的学生人数为，求的分布列和数学期望。
参考公式：，。
参考数据：，。
【答案】（1）由表中数据可知、， 2分
∴，， 4分
∴， 5分
∴当时，，即某位学生的物理成绩为分，预测他的数学成绩为分； 6分
（2）抽取的这五位学生中，数学成绩高于分的有人，不高于分的有人， 7分
则可取、、， 8分
、、， 11分
∴的分布列为： 12分
∴的数学期望。 13分
16．（本小题满分分）在中，内角、、所对的边分别为、、，且。
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围。
【解析】（1）证明：在中，，∵，∴，
∴，又，∴， 2分
由余弦定理得：，则， 3分
又，∴， 4分
由正弦定理得：， 5分
即， 6分
又、，∴； 7分
（2）∵，∴，∴， 8分
∵且，∴， 9分
∴
， 11分
∵为锐角三角形，
则， 13分
∴，∴为增函数，∴。 15分
17．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、的中点，为的中点，，平面平面。
（1）求的长；
（2）若，求二面角的余弦值。
【解析】（1）过点做，垂足为，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴， 2分
∵平面，平面，∴，
∴、，又、平面，
∴平面，又平面，∴， 4分
∵、分别为线段、的中点，∴，∴，即，
又∵，∴，又，则，
在中，，∴； 7分
（2）由（1）可知，又平面，，为的中点，
则以为原点，、、为、、轴如图建系， 9分
、、、、、、，
、、， 10分
设平面的法向量为，
∴，令，则、，∴， 12分
设平面的法向量为，
∴，令，则、，∴， 14分
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
∴。 15分
18．（本小题满分分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，直线交轴于点，且（为坐标原点）。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线斜率存在，与椭圆交于、两点，且与椭圆：（）有公共点，求面积的最大值。
【解析】（1）由可得，即， 2分
又在椭圆上，因此是，解得或（舍去）， 4分
∴椭圆的标准方程为：； 5分
（2）设直线的方程为，原点到直线的距离为， 6分
联立方程并化简得，， 7分
设、，则，， 8分
， 10分
∴
， 11分
而由可得， 12分
则，即， 13分
当时，则，∴，
即直线与椭圆：相切时面积最大为， 15分
当时，则，最大值为， 16分
综上所述，。 17分
19．（本小题满分分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点和。
（1）试求、满足的关系式；
（2）若，各项不为零的数列的前项和为，且满足，求证：；
（3）设，为数列的前项和，求证：。
【解析】（1）设的不动点为和，∴，即，即且； 2分
（2）∵，∴，∴，定义域为， 3分
由已知可得，即，且， 4分
当时，，（可取）或（舍去）， 5分
又，两式相减得：，
即，即， 6分
当时，、，不符合题意，舍去， 7分
当时，，∴数列为首项为、公差的等差数列，
∴， 8分
要证明，即证，
只需，即，
即证，只需证明且， 10分
先证明，令，可构造函数，定义域为，
则，∴在内递减，∴，即， 12分
再证明，令，可构造函数，定义域为，
则，∴在内递增，∴，即， 14分
∴； 15分
（3），， 16分
由（2）可知：，令、、、…、，并将各式相加得：
，
即。 17分
