绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷02
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合、集合，且有个子集，则实数的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．设复数满足，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．已知函数的图像如右，则的图像可能是（ ）。
A、 B、 C、 D、
4．某校为了庆祝建校五十周年举办文艺汇演，原节目单上有个节目已经排好顺序，又有个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（ ）种。
A、
B、
C、
D、
5．绿水青山就是金山银山，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污。某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米。已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的倍，若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要大约为（ ）。
参考数据：。
A、个月
B、个月
C、半年
D、年
6．已知正三角形的边长为，是边的中点，将三角形沿翻折，使，若三角锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．已知函数的一条切线方程为，则的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为，（）的图像是等轴双曲线，设双曲线的焦点为、，点为坐标原点，则的面积为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知三个正态分布密度函数（，、、）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
10．已知正方体的棱长为，、、分别是、、的中点。下列命题正确的是（ ）。
A、以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形
B、在直线上运动时，
C、在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D、是正方体的面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是一条线段
11．已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ）。
A、在是增函数
B、是奇函数
C、在上有两个极值点
D、设，则满足的正整数的最小值是
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为。若，则 。
13．设函数（，，，），将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为。若、，且的最小正周期大于，则 ， 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
14．已知在等腰中，、是两腰上的中线，且，则顶角的余弦值为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，点在底面上的投影为点，点在棱上。
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
16．（本小题满分分）在中，内角、、的对边分别为、、，且。
（1）若、，求；
（2）求的最大值。
17．（本小题满分分）在等差数列中，，前项和为，又等比数列的各项均为正数，，且
、。
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值。
18．（本小题满分分）某社区计划开展一项“猜灯谜，获积分，换礼品”的活动，该活动的规则是：①每人每次猜一个灯谜；②每人至多参加三次；③参与者前两次每猜对一次，则获得积分，猜错没有积分；④如果前两次没有都猜对，则参与者不能参加第三次，如果前两次都猜对，则参与者可以自愿选择是否猜第三个灯谜，第三个灯谜猜对获得积分，猜错扣积分。
（1）为了了解喜欢猜灯谜活动是否与性别有关，社区工作人员从该社区的居民中随机抽取人，得到的数据如下表。请完善表格，并判断是否有的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关。
喜欢猜灯谜 不喜欢猜灯谜 合计
男
女
合计
（2）小明准备参加猜灯谜活动，若小明猜对前两个灯谜的概率均为，猜对第三个灯谜的概率为，小明在前两次猜灯谜中共获得积分的概率为，其中、。
①求的值；
②小明准备从以下两种方案中选择一种，其中方案一是无论前两次猜灯谜结果如何，均不参与猜第三个灯谜；方案二是前两次若没有全部猜对，则不参与猜第三个灯谜，前两次若全部猜对，则选择猜第三个灯谜。若选择方案二所获得的积分的期望值大于选择方案一所获得的积分的期望值的倍，则应该满足什么条件？
参考公式：，，
临界值表：
19．（本小题满分分）椭圆曲线加密算法运用于区块链。
椭圆曲线。关于轴的对称点记为。在点（）处的切线是指曲线在点处的切线。定义“ ”运算满足：①若、，且直线与有第三个交点，则 ；②若、，且为的切线，切点为，则 ；③若，规定 ，且 。
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）已知“ ”运算满足交换律、结合律，若、，且为的切线，切点为，证明： ；
（3）已知、，且直线与有第三个交点，求 的坐标。
参考公式：、。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷02
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合、集合，且有个子集，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】、，有个子集，则中有个元素，
则实数的取值范围为，故选C。
2．设复数满足，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，则，故选A。
3．已知函数的图像如右，则的图像可能是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】由的图像可知，无意义，故在处无意义，故选A。
4．某校为了庆祝建校五十周年举办文艺汇演，原节目单上有个节目已经排好顺序，又有个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（ ）种。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】第一步：个节目空出个位置，加入个新来的节目，∴加入一个新节目有种方法，
第二步：从排好的个节目空出的个位置中，加入第个新节目，有种方法，
第三步：从排好的个节目空出的个位置中，加入第个新节目，有种方法，
∴由分步乘法计数原理得，加入个新节目后的节目单的排法有种，故选D。
5．绿水青山就是金山银山，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污。某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米。已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的倍，若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要大约为（ ）。
参考数据：。
A、个月 B、个月 C、半年 D、年
【答案】C
【解析】令，则，有，且，
∴，，，约为半年，故选C。
6．已知正三角形的边长为，是边的中点，将三角形沿翻折，使，若三角锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】正如图，将三角形沿翻折后，注意以为底面，
形成三角锥，则平面，∵，，∴，
三角锥的外接球球心一定在经过底面的外心且垂直于底面的垂线上，
设球心为，外心为，中点为，外接球半径为，由底面可知，
做剖面，则，过做，垂足为，则为中点，，
在中，，则，故选A。
7．已知函数的一条切线方程为，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】的定义域为，，设切点为，则，
∵为切点，∴，，∴，其中，
记，定义域为，，
当时，在内单调递减，
当时，在内单调递增，
∴在时取得极小值也是最小值，，
即的最小值为，故选B。
8．等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为，（）的图像是等轴双曲线，设双曲线的焦点为、，点为坐标原点，则的面积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】，其对称中心，渐近线方程为，，
实轴所在方程为：，即，即直线的方程为，
联立方程，∴顶点坐标、，∴实轴长，
又双曲线的离心率为，∴焦距为，∴点到直线的距离为，
∴，故选C。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知三个正态分布密度函数（，、、）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】AD
【解析】根据正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，∴，BC错误，
又越小数据越集中，图像越瘦长，∴，AD正确，
故选AD。
10．已知正方体的棱长为，、、分别是、、的中点。下列命题正确的是（ ）。
A、以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形
B、在直线上运动时，
C、在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D、是正方体的面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是一条线段
【答案】BCD
【解析】A选项，画出图形，如图（1）四个面都是直角三角形，
，错，
B选项，在直线上运动时，，
如图（2），∵、、，
、平面，∴平面，
∴，对，
C选项，在直线上运动时，三棱锥的体积不变，
如图（2）三角形面积不变，到平面距离不变，
∴体积为定值，对，
D选项，是正方体的面内到点和距离相等的点，
则点的轨迹是一条线段，线段满足题意，对，
故选BCD。
11．已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ）。
A、在是增函数
B、是奇函数
C、在上有两个极值点
D、设，则满足的正整数的最小值是
【答案】ABD
【解析】A选项，当时，、，
，∴函数在是增函数，对，
B选项，令，该函数的定义域为，
∵，，
则，
∴函数为奇函数，对，
C选项，当时，且，∴函数在内无极值点，
，
①当时，、，则，
则、，∴，∴函数在上单调递减，
∵，，∴函数在上只有一个极值点，
②当时，、，
∴，，则，∴，
则，
∴函数在上无极值点，
综上所述，函数在上只有一个极值点，错，
D选项，，
当时，、，不成立，
当时，，
当时，、，
∵、、，则，
∴，∴满足的正整数的最小值是，对，
故选ABD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为。若，则 。
【答案】
【解析】展开式的二项式系数的最大值为，
展开式的二项式系数的最大值为，
又，解得。
13．设函数（，，，），将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为。若、，且的最小正周期大于，则 ， 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），则，
由题意可得，其中、，∴，、，
又，∴，当时，，此时不存在满足题意的、，
当时，，此时存在满足题意的、，
∴，，，又，∴。
14．已知在等腰中，、是两腰上的中线，且，则顶角的余弦值为 。
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，设、、，、、，
∵、是两腰上的中线，∴，
同理得，又∵，∴，
即，化简为，
∴。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，点在底面上的投影为点，点在棱上。
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
【解析】（1）证明：∵点在底面上的投影为点，∴平面，
∵平面，∴， 1分
在中，，，，
由正弦定理得：，
又∵，∴，∴， 3分
∵，、平面，∴平面， 4分
∵平面，∴平面平面； 5分
（2）由（1）可知平面，∵平面，∴，
又，，∴，
在中，，，∴，∴，又，
∴在中，，∴，
∴，，
∴， 8分
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则、、、， 9分
设平面的法向量为，、，
∴，令，则、，∴， 11分
又由题意可知平面的法向量为， 12分
设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。 13分
16．（本小题满分分）在中，内角、、的对边分别为、、，且。
（1）若、，求；
（2）求的最大值。
【解析】（1）∵在中，，，∴， 2分
由余弦定理得，则，则，又，∴， 4分
由正弦定理得，又，则，∴； 6分
（2）由（1）可知，则：
， 8分
令，则， 10分
又，，
则，则，则， 12分
则原式可化为，， 13分
则当，即时，原式取得最大值，
∴的最大值为。 15分
17．（本小题满分分）在等差数列中，，前项和为，又等比数列的各项均为正数，，且
、。
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值。
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 1分
则，解得、， 3分
∴、； 5分
（2）由（1）得，∴数列是首项为、公比为的等比数列， 7分
∴， 8分
当为奇数时，，随的增大而减小，∴， 9分
当为偶数时，，随的增大而增大，∴， 10分
令，，则，∴在时为单调递增函数， 12分
∴当为奇数时，， 13分
当为偶数时，， 14分
综上所述，的最大值为，最小值为。 15分
18．（本小题满分分）某社区计划开展一项“猜灯谜，获积分，换礼品”的活动，该活动的规则是：①每人每次猜一个灯谜；②每人至多参加三次；③参与者前两次每猜对一次，则获得积分，猜错没有积分；④如果前两次没有都猜对，则参与者不能参加第三次，如果前两次都猜对，则参与者可以自愿选择是否猜第三个灯谜，第三个灯谜猜对获得积分，猜错扣积分。
（1）为了了解喜欢猜灯谜活动是否与性别有关，社区工作人员从该社区的居民中随机抽取人，得到的数据如下表。请完善表格，并判断是否有的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关。
喜欢猜灯谜 不喜欢猜灯谜 合计
男
女
合计
（2）小明准备参加猜灯谜活动，若小明猜对前两个灯谜的概率均为，猜对第三个灯谜的概率为，小明在前两次猜灯谜中共获得积分的概率为，其中、。
①求的值；
②小明准备从以下两种方案中选择一种，其中方案一是无论前两次猜灯谜结果如何，均不参与猜第三个灯谜；方案二是前两次若没有全部猜对，则不参与猜第三个灯谜，前两次若全部猜对，则选择猜第三个灯谜。若选择方案二所获得的积分的期望值大于选择方案一所获得的积分的期望值的倍，则应该满足什么条件？
参考公式：，，
临界值表：
【解析】（1）补全的列联表如下： 2分
喜欢猜灯谜 不喜欢猜灯谜 合计
男
女
合计
， 3分
∵，∴没有的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关； 5分
（2）①根据题意得，又，∴， 8分
②记选择方案一所获得的积分为，选择方案二所获得的积分为，
可取、、，
的分布列为：
的数学期望， 11分
可取、、，
的分布列为：
的数学期望， 14分
由题意可知，解得（不合题意，舍去）或，
∴应该满足的条件是。 17分
19．（本小题满分分）椭圆曲线加密算法运用于区块链。
椭圆曲线。关于轴的对称点记为。在点（）处的切线是指曲线在点处的切线。定义“ ”运算满足：①若、，且直线与有第三个交点，则 ；②若、，且为的切线，切点为，则 ；③若，规定 ，且 。
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）已知“ ”运算满足交换律、结合律，若、，且为的切线，切点为，证明： ；
（3）已知、，且直线与有第三个交点，求 的坐标。
参考公式：、。
【解析】（1），定义域为，由题设可知，有， 1分
若，则，则，此时仅有一个零点， 2分
若，令，解得、，
当或时，，当时，，
∴在和上为单调递增，在上单调递减， 4分
∵，
若，则，
此时，
而，此时有个零点，
若，则，
此时，
而，此时有个零点， 6分
综上所述，当、，∴有个零点，
当、，∴有个零点，
当，有，则有个零点； 7分
（2）∵为在点处的切线，且，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵“ ”运算满足交换律、结合律，
∴ ，∴ ， 10分
（3）直线的斜率，设与的第三个交点为，则，
代入得，
而，∴，
整理得到：，
∴，
即，
同理可得， 14分
两式相减得：，
∴，∴，即，
∴，∴，
∴ 的坐标为：。 17分
【点睛】函数新运算问题，需根据运算的性质选择合理的计算顺序来处理等式，而三次函数的零点问题，注意结合极值的符号处理零点的个数。
