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辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷03
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】集合，则，故选C。
2．设复数满足，则复数（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，∴，故选A。
3．已知向量、向量，且，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵、，，∴，即，
则，故选B。
4．如图所示，用种不同的颜色涂入图中的矩形、、、中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法一共有（ ）。
A、种 B、种 C、种 D、种
【答案】D
【解析】先涂的话，有种选择，若选择了一种，则有种，而为了让与、都不一样，则有种，
再涂的话，只要与涂不一样的就可以，也就是有种，∴一共有种，故选D。
5．已知函数（）在区间上单调递增，将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，且当时，，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】将化简，得，
由已知得，则，又，∴，∴，
当时，，
又，结合正弦函数的图像可得，∴，故选A。
6．已知椭圆：与双曲线：共焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵与共焦点，∴与有共同的，
又中、，，中、，，
则，∴，
椭圆的离心率，
又，∴，∴，∴，即，故选D。
7．若直线与曲线和圆都相切，则直线的一般方程为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】法一：设曲线的切点（），
又点处的切线斜率，
∴切线方程：，即：，
∵切线也与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即，
解得（可取）或（舍去），∴切线方程为，故选B。
法二：画出曲线和圆的图形如下：
要使直线与曲线和圆都相切，
则直线，横截距，纵截距，
B、 C、 D均不符合，故选B。
8．若数列满足：当时，（），则数列的前项和为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】满足的的值共有个，对应的数列的项也有个，
这项的和为，
设，数列的前项和就是数列的前项和，
其和为，故选A。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列说法正确的是（ ）。
A、甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是
B、若、是互斥事件，则，
C、某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人
D、一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
【答案】BCD
【解析】∵他们各自解出的概率分别是和，∴此题不能解出的概率为，
∴此题解出的概率为，A选项错，
若、是互斥事件，则，，B选项对，
高级教师应抽取时人，C选项对，
由列举法知，两位女生相邻的概率是，D选项对，
故选BCD。
10．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，若、，则下列结论正确的是
（ ）。
A、球的表面积为 B、上存在一点，使得
C、若为的中点，则 D、四面体体积的最大值为
【答案】ACD
【解析】∵是球的一条直径，∴，，∴，
A选项，球的半径为，球的表面积为，对，
B选项，∵与平面相交，上找不到一点，使得，错，
C选项，连接、，∵，为的中点，∴，对，
D选项，易知点到平面的距离的最大值为球的半径，
∴四面体体积的最大值为：，对，
故选ACD。
11．已知函数，是的导函数，则下列命题正确的是（ ）。
A、在区间是增函数 B、当时，函数的最大值为
C、有个零点 D、
【答案】AC
【解析】当时，，，∴在区间是增函数，A选项正确，
当时，，当且仅当时取到最小值，B选项错误，
当时，，
令，则，由于，，
∴在上先减后增，且，∴在内只有一个零点，
当时，，
令，则，由于，，
∴在上先增后减，且，∴在内只有一个零点，
综上可知，有个零点，C选项正确，
当时，，，D选项错误，
故选AC。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．在的展开式中，记项的系数为，则 。
【答案】
【解析】，
∴。
13．设是坐标原点，是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则 。
【答案】
【解析】过点做，垂足为，则，，
设，则、，，
又点到准线的距离与到焦点的距离相等，
则，解得，则，则。
14．如图所示的平行六面体中的各棱长均相等，，直线平面，则异面直线与所成角的余弦值为 。
【答案】
【解析】设、、，且棱长均为，则，
连接、，，连，则一定在上，
又与相似，∴，
∴，又，
∴，∴，，又，∴，
则，
∴，
又，异面直线与所成角与与所成角相同，设为，
则。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）某人在一山坡处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）。
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则、、， 1分
直线的方程为，即， 2分
设，则（），
由经过两点的直线的斜率公式，， 5分
由直线到直线的角的公式得
，， 8分
要使达到最大，只须达到最小，
由均值不等式，
当且仅当时上式取等号，∴当时最大，
这时点的纵坐标为， 11分
由此实际问题知，，∴最大时，最大，
∴当此人距水平地面米高时，观看铁塔的视角最大。 13分
16．（本小题满分分）年抗击新冠肺炎武汉封城期间，某公司的产品因符合抗疫要求（全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持）能继续直销武汉。为了把握准确的需求信息，他们使用大数据统计了武汉年末近天内每天此产品的售货量（单位：箱）如下表所示：
销售量（箱）
天数
统计分析发现服从正态分布。
（1）画出售货量的频率分布直方图，并求出的值；
（2）估计该公司一个月（天）内售货量在区间内的天数（结果保留整数）；
（3）为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案：
方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：时，返现元；时，返现元；时，返现元；
方案二：通过抽奖返现，每日售货量低于时有一次抽奖机会；每日售货量不低于时有两次抽奖机会，每次抽奖获得奖金元的概率为，获得奖金元的概率为。
据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由。
附：若，则，。
【解析】（1）由题意可知： 1分
销售量（箱）
天数
频率/组距
画出频率分布直方图如图所示： 4分
； 5分
（2）由（1）可知正态分布服从，∵、，
∴， 7分
∴估计该公司一个月（天）内售货量在区间内的天数为， 8分
（3）方案一：、、，
∴平均每日返现为（元）， 11分
方案二：∵、，
∴平均每日返现为， 14分
∵，∴应选择方案一。 15分
17．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，
，。
（1）求证：平面平面；
（2）为棱上异于的点，且，求直线与平面所成角的正弦值。
【解析】（1）证明：在和中，
∵、，∴，， 2分
即∽，∴，
∵，∴，∴， 4分
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，∴平面平面； 6分
（2）解：过点做，∵平面，∴平面，
∴、、两两相互垂直，∴以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 8分
∵，，，
∴、、、、，
∴、、， 9分
设，，
则，，
∵，∴，
即，化简得：，
解得（舍）或（取），∴，即，
则、， 12分
设平面的法向量为，则，∴，
令，则、，∴， 14分
设直线与平面所成角为，
∴。 15分
18．（本小题满分分）已知点，圆：，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点。
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线：与圆：相切，并与轨迹交于不同的两点、，，且，求面积的最大值。
【解析】（1）由题意可知， 2分
∴动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，设：（）， 4分
∴，，又∵，∴，，，∴； 6分
（2）由题意可知：，则圆的圆心到的距离，则， 7分
联立与得：，
∴，∴， 9分
设、，则，， 10分
∴，
∴、， 12分
又，，∴，∴，
又∵， 14分
令，，则，
∴，在上恒增，∴， 16分
∴，即面积的最大值。 17分
19．（本小题满分分）已知数列（）。
（1）证明：（，是自然对数的底数）；
（2）若不等式（，）成立，求实数的最大值。
【解析】（1）要证（）成立，两边取对数，只需证明成立， 1分
令，则，构造函数，
即只需证明函数在区间上小于零， 2分
设的定义域为，，当时，，
∴在区间内单调递减，且，∴在区间上函数， 4分
∴不等式（）成立，即； 5分
（2）要证（）成立，两边取对数，只需证明不等式成立， 6分
令，，构造函数，定义域为，
不等式（）成立，等价于在区间上恒成立，
，其中， 8分
令，解得、， 9分
当时，，∴当时，，∴在内单调递増，
∴，∴当时不等式不成立， 11分
当时，，∴当时，，当时，，
∴在内单调递减，在内单调递増，
且，∴只需，解得，
证明：∵，∴，∴，∴，∴，∴，
又，∴当时不等式成立， 14分
当时，，∴当时，，∴在内单调递减，
且，∴当时不等式恒成立， 16分
综上所述，∴当时不等式恒成立，
∴当不等式（，）成立是，实数的最大值为。 17分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷03
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．设复数满足，则复数（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．已知向量、向量，且，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
4．如图所示，用种不同的颜色涂入图中的矩形、、、中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法一共有（ ）。
A、种
B、种
C、种
D、种
5．已知函数（）在区间上单调递增，将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，且当时，，则实数的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．已知椭圆：与双曲线：共焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．若直线与曲线和圆都相切，则直线的一般方程为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．若数列满足：当时，（），则数列的前项和为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列说法正确的是（ ）。
A、甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是
B、若、是互斥事件，则，
C、某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人
D、一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
10．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，若、，则下列结论正确的是
（ ）。
A、球的表面积为
B、上存在一点，使得
C、若为的中点，则
D、四面体体积的最大值为
11．已知函数，是的导函数，则下列命题正确的是（ ）。
A、在区间是增函数
B、当时，函数的最大值为
C、有个零点
D、
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．在的展开式中，记项的系数为，则 。
13．设是坐标原点，是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则 。
14．如图所示的平行六面体中的各棱长均相等，，直线平面，则异面直线与所成角的余弦值为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）某人在一山坡处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）。
16．（本小题满分分）年抗击新冠肺炎武汉封城期间，某公司的产品因符合抗疫要求（全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持）能继续直销武汉。为了把握准确的需求信息，他们使用大数据统计了武汉年末近天内每天此产品的售货量（单位：箱）如下表所示：
销售量（箱）
天数
统计分析发现服从正态分布。
（1）画出售货量的频率分布直方图，并求出的值；
（2）估计该公司一个月（天）内售货量在区间内的天数（结果保留整数）；
（3）为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案：
方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：时，返现元；时，返现元；时，返现元；
方案二：通过抽奖返现，每日售货量低于时有一次抽奖机会；每日售货量不低于时有两次抽奖机会，每次抽奖获得奖金元的概率为，获得奖金元的概率为。
据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由。
附：若，则，。
17．（本小题满分分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，
，。
（1）求证：平面平面；
（2）为棱上异于的点，且，求直线与平面所成角的正弦值。
18．（本小题满分分）已知点，圆：，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点。
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线：与圆：相切，并与轨迹交于不同的两点、，，且，求面积的最大值。
19．（本小题满分分）已知数列（）。
（1）证明：（，是自然对数的底数）；
（2）若不等式（，）成立，求实数的最大值。
