绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷04
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）。
A、甲乙丙丁戊
B、甲丁丙乙戊
C、甲丙戊乙丁
D、甲戊丙丁乙
4．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。它比西方的“帕斯卡三角形”早了年。若用表示三角形数阵的第行第个数，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．已知函数的图像可由函数（，，）的图像先向左平移个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，则函数图像的一个对称中心可以为（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．若是圆：上任一点，则点到直线距离的最大值（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．设，，，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知平面向量、、满足。若，则的值可能为（ ）。
A、
B、
C、
D、
10．“天干地支纪年法”（也叫农历）源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推。年为“天干地支纪年法”的甲辰年，为了推算公元年，（为不小于的正整数）所在的农历年份，我们定义数列：的余数，若，则公元第年为甲辰年；若，则公元第年为乙巳年，依次类推，则下列结论正确的是（ ）。
A、
B、，
C、
D、
11．已知、是抛物线：上异于坐标原点的两个动点，且以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（ ）。
A、抛物线的准线为
B、直线的斜率为
C、
D、直线过定点
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．设随机变量，函数没有零点的概率是，则 。
附：若，则，，
。
13．球面距离指球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。设地球半径为，在北纬圈上有、两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是 。
14．已知函数，，的导函数是，若，，，…，，则 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）在中，角、、的对边分别为、、，。
（1）若的面积，，求；
（2）若函数在区间内有零点，求实数的取值范围。
16．（本小题满分分）年年初，辽宁省人民政府印发了《辽宁省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效。为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，有关部门随机抽取辽东和辽西两个地区的个乡镇，调查其年月份的高科技企业投资额，得到如下数据：
投资额/万元
乡镇数
将投资额不低于万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率。已知辽西地区的甲乡镇参与了本次调查，其高科技企业投资额为万元。
（1）请根据上述表格中的数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关。
非优秀乡镇 优秀乡镇 合计
辽东地区
辽西地区
合计
（2）经统计发现，这个乡镇的高科技企业投资额（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）。若落在区间外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”。
①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；
②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于的每年给予两次贷款机会，投资额不低于的每年给予一次贷款机会，每次贷款金额及对应的概率如下：
贷款金额/万元
概率
求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望。
附：，其中，
17．（本小题满分分）已知数列，设（），若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数、、，都有，则称数列为“梦想数列”。
（1）若（），判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
（2）若（），判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
（3）判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由。
18．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，，、、，
、、的中点分别为、、，，点在上，。
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值。
19．（本小题满分分）已知双曲线：（）的右焦点为，点、分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于、两点，设直线、的斜率分别为、，且。
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点在第一象限，且时，求直线的方程。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷04
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】集合，集合，∴，故选B。
2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意可得，
∵实部与虚部之和为，∴，解得，故选B。
3．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）。
A、甲乙丙丁戊 B、甲丁丙乙戊 C、甲丙戊乙丁 D、甲戊丙丁乙
【答案】C
【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流，则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，
故选C。
4．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。它比西方的“帕斯卡三角形”早了年。若用表示三角形数阵的第行第个数，则（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】依据二项展开式系数可知，第行第个数应为，
故第行第个数为，故选A。
5．已知函数的图像可由函数（，，）的图像先向左平移个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，则函数图像的一个对称中心可以为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像，
再将所得图像向右平移个单位长度，得到，
令（），则（），则图像的一个对称中心可以为，故选B。
6．若是圆：上任一点，则点到直线距离的最大值（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题意得直线：过定点，
圆：的圆心为，半径，
由几何知识可得当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时，∴，直线方程为，即，
∴圆心到直线的最大距离为，
∴点到直线距离的最大值为，故选D。
7．在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】做正方体，以为坐标原点如图建系，
做中点，则为的外接圆半径，过做直线平面，
则三棱锥的外接球球心一定在上，设其半径为，
则、、、，
设、，则，即，
∴，当且仅当时取最小值为，
此时取最小值为，
此时三棱锥的外接球的表面积最小，最小值为，故选D。
8．设，，，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，故排除A、D，
对于B、C，只需要判断和大小即可，，，
∴只需比较与，又两个数都是正数，∴只需比较与的大小，
即与，即与，
设，，，
当，，递增，∴，，
∴，，在递增，∴，
，即，∴，故选B。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知平面向量、、满足。若，则的值可能为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】BC
【解析】，
∵、，则，
∵、、、，
∴的值可能为、，故选BC。
10．“天干地支纪年法”（也叫农历）源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推。年为“天干地支纪年法”的甲辰年，为了推算公元年，（为不小于的正整数）所在的农历年份，我们定义数列：的余数，若，则公元第年为甲辰年；若，则公元第年为乙巳年，依次类推，则下列结论正确的是（ ）。
A、 B、， C、 D、
【答案】ABC
【解析】的余数的余数，A选项对，
由的定义得：，B选项对，
假设C选项的结论不成立，则，∴，这与已知矛盾，则假设不成立，C选项对，
若，则，D选项错，
故选ABC。
11．已知、是抛物线：上异于坐标原点的两个动点，且以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（ ）。
A、抛物线的准线为 B、直线的斜率为
C、 D、直线过定点
【答案】ACD
【解析】由抛物线：得，∴准线为，A选项对，
∵、，两式相减得，
当时，有，此时直线的斜率为，
当时，直线斜率不存在，B选项错，
∵以直线为直线的圆过原点，∴，即，∴，
又，∴，解得，，∴C选项对，
当直线斜率存在时，设直线的方程为（），
联立可得，∴，∴，即，
∴直线的方程为，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点，D选项对，
故选ACD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．设随机变量，函数没有零点的概率是，则 。
附：若，则，，
。
【答案】
【解析】∵函数没有零点，∴二次方程无实根，
∴，∴，又∵没有零点的概率是，
∴，由正态曲线的对称性知，∴，
∴。
13．球面距离指球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。设地球半径为，在北纬圈上有、两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是 。
【答案】
【解析】北纬圈所在圆的半径为，
它们在纬度圈上的弧长（是、两地在北纬圈上对应的圆心角），∴，
∴线段，
设地球的中心为，则中，由余弦定理得，
∴，，∴、这两地的球面距离是。
14．已知函数，，的导函数是，若，，，…，，则 。
【答案】
【解析】当时，，，
当时，，
，∴可化为，
设、，
则、的图像均关于点对称，作出函数、的大致图像如图所示：
由图可知，函数、在上的图像共有个交点，于是可得。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）在中，角、、的对边分别为、、，。
（1）若的面积，，求；
（2）若函数在区间内有零点，求实数的取值范围。
【解析】（1）在中，，
由题意及正弦定理得，∴，
由余弦定理得，又，∴， 3分
∵，∴，又，
∴由余弦定理得，
∴； 6分
（2）由（1）可知，∴，定义域为，
， 7分
令，解得，当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴， 10分
∴在内有且只有唯一一个零点，
∴要使在区间内有零点，则实数的取值范围为。 13分
16．（本小题满分分）年年初，辽宁省人民政府印发了《辽宁省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效。为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，有关部门随机抽取辽东和辽西两个地区的个乡镇，调查其年月份的高科技企业投资额，得到如下数据：
投资额/万元
乡镇数
将投资额不低于万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率。已知辽西地区的甲乡镇参与了本次调查，其高科技企业投资额为万元。
（1）请根据上述表格中的数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关。
非优秀乡镇 优秀乡镇 合计
辽东地区
辽西地区
合计
（2）经统计发现，这个乡镇的高科技企业投资额（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）。若落在区间外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”。
①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；
②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于的每年给予两次贷款机会，投资额不低于的每年给予一次贷款机会，每次贷款金额及对应的概率如下：
贷款金额/万元
概率
求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望。
附：，其中，
【解析】（1）填写列联表如下所示： 2分
非优秀乡镇 优秀乡镇 合计
辽东地区
辽西地区
合计
∴， 3分
∴能在犯错误的概率不超过的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关； 4分
（2）①所调查的个乡镇的投资额频率分布表如下： 6分
投资额/万元
乡镇数
频率
则， 7分
∵个乡镇的高科技企业投资额近似地服从正态分布，
∴、，∴，
∵甲乡镇的高科技企业投资额为万元，大于万元，
∴甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”； 9分
②由①可知这个乡镇的投资额的平均数为万元，
甲乡镇的投资额为万元，低于万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款， 10分
所得贷款总金额的取值可取、、、、， 11分
、、
、、
， 13分
贷款总金额的分布列为： 14分
数学期望万元。 15分
17．（本小题满分分）已知数列，设（），若满足性质：存在常数，使得对于任意两两不等的正整数、、，都有，则称数列为“梦想数列”。
（1）若（），判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
（2）若（），判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；
（3）判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由。
【解析】（1）∵，，∴， 1分
当时，、、，
∴、、， 3分
∴，∴不是“梦想数列”； 4分
（2）∵， 5分
∴，
∴数列是“梦想数列”； 7分
（3）①令、、，，
∴，即、、成等差数列， 10分
②数列的前项和为，令、、（），
，
化简为：，，
两式相减得：，∴，
∴（），当、、时也成立， 14分
综上所述，“梦想数列” 是等差数列。 15分
18．（本小题满分分）如图所示，在三棱锥中，，、、，
、、的中点分别为、、，，点在上，。
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值。
【解析】（1）由题意可知，过点做直线平面，
以、、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 1分
则、、、，设，
∵，∴，又、，∴，
又点在上，∴（），
∴，∴，
联立得，∴，∴，∴点为的中点， 4分
又点为的中点，∴，
∵点为的中点、点为的中点，∴，∴，
∵平面，平面，∴平面； 6分
（2）由题意可知，在中，，
在中，、，∴，∴，8分
又∵，∴，又，，、平面，
∴平面，又∵平面，∴平面平面； 10分
（3）在中，，
∴，解得， 12分
设，则，解得（舍去），
∴， 14分
由题意可知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又、，
则，即，
令，则、，∴，
∴， 16分
设二面角的平面角为，则。 17分
19．（本小题满分分）已知双曲线：（）的右焦点为，点、分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于、两点，设直线、的斜率分别为、，且。
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点在第一象限，且时，求直线的方程。
【解析】（1）由题意可知、，设，
则、，∴， 2分
∵点是双曲线上的点，∴，∴，∴，∴， 4分
∴双曲线的标准方程为； 5分
（2）设、，点在第一象限，则、，
∴， 7分
又、，
∴， 9分
同理可得，，即， 11分
则直线的斜率大于，由（1）可知 ，设直线：（），
联立并整理得，
则，，
∴、，∴， 14分
∵，代入韦达定理得，
∴，解得（舍去）或（可取）， 16分
∴直线的方程为，即。 17分
【点睛】解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合进行化简得到，从而再结合根与系数的关系化简求解即可。
