绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷05
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合、集合，且，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题意可知且，解得，故选D。
2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）。
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【答案】C
【解析】由已知得：，则，
∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。
3．如图所示的函数图像，对应的函数解析式可能是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】A选项，，当时，，不符合，
B选项，为偶函数，其图像关于轴对称，不符合，
C选项，的定义域为，不符合，故选D。
4．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】依题意，丙没有入选，当甲、乙两人都入选的种数，当甲、乙两人只有1人入选的种数，
因此，满足条件的不同选法的种数为种，故选B。
5．已知定义在上的可导函数满足，令（），，则必有（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设，定义域为，，∴为单调递增函数，
∵，∴，即，
∴，即，故选A。
6．过圆：上的动点作圆：的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】如下图所示，过圆：上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，
则、、，
则且为锐角，∴，
同理可得，∴，则为等边三角形，
连接交于点，∵为的角平分线，则为的中点，
∴，且，∴，
若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，
即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，
∴圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，故选A。
7．如图所示，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、、分别沿、、折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为
（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意可知四面体为底面为等腰，顶点为的三棱锥，
则，，，，则，，
则平面，又，则为直角三角形，
设的外接圆的半径为，则，
三棱锥的外接球的半径为，则，
∴该球的表面积为，故选B。
8．函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，（），
若，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵为偶函数，∴的图像关于直线轴对称，
∵为奇函数，∴，∴，
∴的图像关于点中心对称，∴周期，
又，解得，又，则，，
、、、、
、、、、…
∴，故选A。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知、，，则下列选项中正确的是（ ）。
A、的最大值为 B、的最大值为 C、的最大值为 D、的最小值为
【答案】BC
【解析】∵、，，∴，∴、，
A选项，∵，∴，错，
B选项，，当且仅当即、时等号成立，对，
C选项，∵，∴，
当且仅当即、时等号成立，对，
D选项，∵，
当且仅当即、时等号成立，不符合条件，错，
故选BC。
10．意大利人斐波那契于年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：、、、、、、、……即从第三项开始，每一项都是它前两项的和。后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列。下面关于斐波那契数列说法错误的是（ ）。
A、 B、是偶数 C、 D、
【答案】BCD
【解析】A选项，、、，对，
B选项，由该数列的性质可得只有的倍数项是偶数，错，
C选项，，错，
D选项，、、、……、、，
各式相加得，
∴，错，
故选BCD。
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）。现有满足
，且的面积，则下列结论正确的是（ ）。
A、的周长为 B、的三个内角、、成等差数列
C、的外接圆半径为 D、的中线的长为
【答案】AB
【解析】A选项，设的内角、、所对的边分别为、、，
∵，∴由正弦定理可得，
设、、（），
∵，∴，
解得，则、、，故的周长为，对，
B选项，∵，∴，，
∴的三个内角、、成等差数列，对，
C选项，∵，∴，
由正弦定理得，，错，
D选项，由余弦定理得，
在中、，
由余弦定理得，解得，错，
故选AB。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为个单位）的顶点处，然后通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定棋子的走向，若硬币正面朝上，则沿正方形的边按逆时针方向行走个单位，若硬币反面朝上，则沿正方形的边按顺时针方向行走个单位，一直循环下去。则某人抛掷次硬币后棋子恰好又回到点处的概率为 。
【答案】
【解析】棋子恰好又回到点处为：四正，四反，两正两反，共有，
∴概率。
13．已知是的重心，过点做直线与、分别交于点、，且，，（，），则的最小值是 。
【答案】
【解析】∵是的重心，∴，
又∵、、三点共线，则，∴，∴，
又∵、，则。
14．如图所示，半径为的半圆有一内接梯形，它的下底为圆的直径，上底的端点在圆周上，若双曲线以、为焦点，且过、两点，则当梯形周长最大时，双曲线的实轴长为 。
【答案】
【解析】，设，作于点，
则，，
∴，
则梯形周长
，
当，即时周长有最大值，这时，
，，∴双曲线的实轴长为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）设向量、向量，且，其中、是的两个内角。
（1）求的取值范围；
（2）试确定的取值范围。
【解析】（1）∵、，，
∴，即， 2分
又，、，∴，即， 4分
， 5分
∵，∴，∴，
∴的取值范围为； 7分
（2）由（1）得，∴， 8分
设，则由（1）得，则， 10分
∴可化为（）， 11分
由定义可证在上是单调递减函数，∴，
∴的取值范围为。 13分
16．（本小题满分分）已知抛物线：（）上一点到其焦点的距离为，椭圆：
（）的离心率，且过抛物线的焦点。
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线交于、两不同点，交轴于点，已知、，求证：为定值。
【解析】（1）抛物线上一点到其焦点的距离为，又其准线为：，
∴，解得，∴抛物线的标准方程为：， 3分
∵椭圆的焦点在轴上，离心率，且椭圆过抛物线的焦点，
∴、，代入得、，
∴椭圆的标准方程为：； 6分
（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在且一定不为，
又直线过点，设直线：， 7分
联立并化简得，恒成立，
设、，则、， 11分
∵直线交轴于点，∴，
∵、，∴、，
∴、， 13分
∴
。 15分
17．（本小题满分分）已知件不同的产品中共有件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有件次品为止。
（1）求恰好在第次测试时件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第次测试时件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值。
【解析】（1）若恰好在第次测试时件次品全部被测出，
则第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，则有种情况， 2分
从件产品中顺序取出件，有种情况， 3分
则第次测试时件次品全部被测出的概率； 4分
（2）根据题意，分析可得的范围是，
当时，若恰好在第次测试时件次品全部被测出，
则第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，
而从件产品中顺序取出件，有种情况，则，
则、、、， 8分
当时，即恰好在第次测试时件次品全部被测出，有两种情况：
①是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，
②是前次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，
则， 10分
当时，即恰好在第次测试时件次品全部被测出，有两种情况：
①是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，
②是前次恰有次次品，第次取出为合格品，
则， 12分
当时，即恰好在第次测试时件次品全部被测出，有两种情况：
①是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，
②是第次取出第件正品，前次中有次是次品，次是正品，
则， 14分
∴、。 15分
18．（本小题满分分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍。
（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
（3）在（2）的条件下求直线与平面的夹角的余弦值。
【解析】（1）由知，∵，
∴正四棱锥的体积（）， 2分
正四棱柱的体积（）， 4分
∴仓库的容积（）； 5分
（2）设，，则，，如图所示，连接，
∵在中，，∴，即， 7分
∴仓库的容积，，
从而，令，得或（舍）， 9分
当时，，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数，
∴当时，取得极大值，也是最大值，∴当时，仓库的容积最大； 11分
（3）以为原点，、、为、、轴建系，则，
则、、，，，
∴、、， 13分
设平面的法向量为，则，即，
设，则、，则， 15分
设直线与平面的夹角为，
则
， 16分
∴。 17分
19．（本小题满分分）已知正项数列，，，，证明：
（1）；
（2）；
（3）。
【解析】（1）先证明对恒成立，
记，则，∴在上单调递减，
∴当时，，∴当时，， 3分
又，∴，即，即； 4分
（2）要证成立，
只需证成立，即成立， 5分
记，，则，
∴在上单调递增，∴当时，，
∴当时，， 9分
又，∴，即； 10分
（3）由（2）可知，即，
则，即，
又，∴，∴， 14分
由（1）可知，∴，又，则， 16分
综上所述，。 17分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2024年高考数学新题型调研卷05
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合、集合，且，则实数的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）。
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
3．如图所示的函数图像，对应的函数解析式可能是（ ）。
A、
B、
C、
D、
4．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．已知定义在上的可导函数满足，令（），，则必有（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．过圆：上的动点作圆：的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．如图所示，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、、分别沿、、折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为
（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，（），
若，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．已知、，，则下列选项中正确的是（ ）。
A、的最大值为
B、的最大值为
C、的最大值为
D、的最小值为
10．意大利人斐波那契于年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：、、、、、、、……即从第三项开始，每一项都是它前两项的和。后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列。下面关于斐波那契数列说法错误的是（ ）。
A、
B、是偶数
C、
D、
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）。现有满足
，且的面积，则下列结论正确的是（ ）。
A、的周长为
B、的三个内角、、成等差数列
C、的外接圆半径为
D、的中线的长为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为个单位）的顶点处，然后通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定棋子的走向，若硬币正面朝上，则沿正方形的边按逆时针方向行走个单位，若硬币反面朝上，则沿正方形的边按顺时针方向行走个单位，一直循环下去。则某人抛掷次硬币后棋子恰好又回到点处的概率为 。
13．已知是的重心，过点做直线与、分别交于点、，且，，（，），则的最小值是 。
14．如图所示，半径为的半圆有一内接梯形，它的下底为圆的直径，上底的端点在圆周上，若双曲线以、为焦点，且过、两点，则当梯形周长最大时，双曲线的实轴长为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）设向量、向量，且，其中、是的两个内角。
（1）求的取值范围；
（2）试确定的取值范围。
16．（本小题满分分）已知抛物线：（）上一点到其焦点的距离为，椭圆：
（）的离心率，且过抛物线的焦点。
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线交于、两不同点，交轴于点，已知、，求证：为定值。
17．（本小题满分分）已知件不同的产品中共有件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有件次品为止。
（1）求恰好在第次测试时件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第次测试时件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值。
18．（本小题满分分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍。
（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
（3）在（2）的条件下求直线与平面的夹角的余弦值。
19．（本小题满分分）已知正项数列，，，，证明：
（1）；
（2）；
（3）。
