鲁教版九年级数学上册第二单元直角三角形的边角关系2.5三角函数的应用学案（第1课时）
文档属性
| 名称 | 鲁教版九年级数学上册第二单元直角三角形的边角关系2.5三角函数的应用学案（第1课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 130.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-04 22:22:24 | ||
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文档简介
鲁教版九年级数学上册第二单元直角三角形的边角关系2.5三角函数的应用（第1课时）
学习目标：
1、能把实际问题转化为数学问题的能力。
2、使学生认识数学与生产生活的联系，养成应用数学的意识，激发学习的兴趣和求知欲望。
学习重难点：理解坡角的概念，能用利用解直角三角形的知识解决问题。
学习过程
预习提纲
1、在Rt△ABC中，sinA= ，cosA= ______，tanA= 。
2、利用解直角三角形解决实际问题的解题思路是：
（1）根据题目的已知条件， ；（2）找出已知条件中各量之间的关系，若是直角三角形，根据 进行计算；若不是应尝试添加 ，构造 解答。
二、典例解析
例1、如图1，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少
问题：（1）哪条线段代表缆车上升的垂直距离
（2）利用哪个直角三角形可以求出BC
当缆车由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由B到达D的行驶路线与水平面的夹角∠β=45°，由此，你能求出缆车又垂直上升的距离是多少
（图1） （图2） （图3） （图4）
跟踪训练：如图2，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点C的俯角为45°，则山高CD等于 （结果用根号表示）
例题2（2015 哈尔滨模拟）如图3，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A．米 B． 米 C． 6cos50°米 D． 米
跟踪练习：如图4所示，在离水面高度为5m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角是30°，此人以每秒0.5m收绳，问：（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长是多少？（2）收绳8s后船向岸移动了多少米（结果保留柜号）？
三、对应训练
1、（2015 邵阳）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了 米．
2、（2014 天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
3、（2015 黔南州）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°．若新坡脚前需留2.5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除？请说明理由。
4、已知：如图，某厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A=30°．求中柱BC（C为底边的中点）和上弦AB的长（答案可带根号）．
四、中考演练
5、（2014 随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C． 米 D．50米
（5题图） （6题图）
6、（2015 自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
7、（2015 黄石模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：，）．
8、（2015 黔南州）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角为30°．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
9、（2015 南京）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
10、（2015 茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
鲁教版九年级数学上册第二单元直角三角形的边角关系2.5三角函数的应用（第1课时）
参考答案
1、1000 2、解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，∴AN=MN tan∠AMN=30．
在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．
∴AB=AN+BN=（30+30）米；
（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，
∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，
∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速
3、解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，
∴DC=2BC=20米，BD==10米，
∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32=10.32＞10，
∴需要拆除．
4、， 5、B
6、解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，
在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x
在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=CE=x，
∴x=x+50解之得：x=25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．
7、解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP=90°，
∵∠BPO=45°，OP=100，
∴OB=OP=100．
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
∵∠APO=60°，
∴AO=OP tan∠APO．
∴A0=100，
AB=100（﹣1）（米）；
（2）∵此车的速度==25（﹣1）≈25×0.73=18.25米/秒，
70千米/小时=≈19.4米/秒，
18.25米/秒＜19.4米/秒，
∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．
8、解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的倾斜角∠CDB=30°，
∴DC=2BC=20米，BD==10米，
∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32=10.32＞10，
∴需要拆除．
9、解：设B处距离码头Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∵tan∠CAO=，
∴CO=AO tan∠CAO=（45×0.1+x） tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∵tan∠DBO=，
∴DO=BO tan∠DBO=x tan58°，
∵DC=DO﹣CO，
∴36×0.1=x tan58°﹣（4.5+x），
∴x=≈=13.5．
因此，B处距离码头O大约13.5km．
10、解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC cos∠CAD=20×=10（千米），
在Rt△BCD中，BD===10（千米），
∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），
则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），
∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），
则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．
学习目标：
1、能把实际问题转化为数学问题的能力。
2、使学生认识数学与生产生活的联系，养成应用数学的意识，激发学习的兴趣和求知欲望。
学习重难点：理解坡角的概念，能用利用解直角三角形的知识解决问题。
学习过程
预习提纲
1、在Rt△ABC中，sinA= ，cosA= ______，tanA= 。
2、利用解直角三角形解决实际问题的解题思路是：
（1）根据题目的已知条件， ；（2）找出已知条件中各量之间的关系，若是直角三角形，根据 进行计算；若不是应尝试添加 ，构造 解答。
二、典例解析
例1、如图1，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少
问题：（1）哪条线段代表缆车上升的垂直距离
（2）利用哪个直角三角形可以求出BC
当缆车由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由B到达D的行驶路线与水平面的夹角∠β=45°，由此，你能求出缆车又垂直上升的距离是多少
（图1） （图2） （图3） （图4）
跟踪训练：如图2，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点C的俯角为45°，则山高CD等于 （结果用根号表示）
例题2（2015 哈尔滨模拟）如图3，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A．米 B． 米 C． 6cos50°米 D． 米
跟踪练习：如图4所示，在离水面高度为5m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角是30°，此人以每秒0.5m收绳，问：（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长是多少？（2）收绳8s后船向岸移动了多少米（结果保留柜号）？
三、对应训练
1、（2015 邵阳）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了 米．
2、（2014 天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
3、（2015 黔南州）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°．若新坡脚前需留2.5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除？请说明理由。
4、已知：如图，某厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A=30°．求中柱BC（C为底边的中点）和上弦AB的长（答案可带根号）．
四、中考演练
5、（2014 随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C． 米 D．50米
（5题图） （6题图）
6、（2015 自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
7、（2015 黄石模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：，）．
8、（2015 黔南州）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角为30°．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
9、（2015 南京）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
10、（2015 茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
鲁教版九年级数学上册第二单元直角三角形的边角关系2.5三角函数的应用（第1课时）
参考答案
1、1000 2、解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，∴AN=MN tan∠AMN=30．
在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．
∴AB=AN+BN=（30+30）米；
（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，
∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，
∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速
3、解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，
∴DC=2BC=20米，BD==10米，
∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32=10.32＞10，
∴需要拆除．
4、， 5、B
6、解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，
在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x
在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=CE=x，
∴x=x+50解之得：x=25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．
7、解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP=90°，
∵∠BPO=45°，OP=100，
∴OB=OP=100．
在Rt△AOP中，∠AOP=90°，
∵∠APO=60°，
∴AO=OP tan∠APO．
∴A0=100，
AB=100（﹣1）（米）；
（2）∵此车的速度==25（﹣1）≈25×0.73=18.25米/秒，
70千米/小时=≈19.4米/秒，
18.25米/秒＜19.4米/秒，
∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．
8、解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的倾斜角∠CDB=30°，
∴DC=2BC=20米，BD==10米，
∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32=10.32＞10，
∴需要拆除．
9、解：设B处距离码头Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∵tan∠CAO=，
∴CO=AO tan∠CAO=（45×0.1+x） tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∵tan∠DBO=，
∴DO=BO tan∠DBO=x tan58°，
∵DC=DO﹣CO，
∴36×0.1=x tan58°﹣（4.5+x），
∴x=≈=13.5．
因此，B处距离码头O大约13.5km．
10、解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC cos∠CAD=20×=10（千米），
在Rt△BCD中，BD===10（千米），
∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），
则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），
∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），
则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．