9.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 课件(共17张PPT) 2023-2024学年初中数学华东师大版七年级下册

(共17张PPT)
第九章 多边形
9.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时
一、学习目标
1. 知道三角形的外角和等于 360°；
2. 掌握三角形外角的两条性质，能利用三角形的外角性质解决简单问题.（重点）
二、新课导入
数一数：下面的图形中你能数出多少个角？
一共数出 5 个角，它们分别是∠A、∠C、∠ABC、∠CBD和平角∠ABD ；
思考：我们知道 ∠A、∠C、∠ABC 是 △ABC的三个内角，那 ∠CBD 和 ∠ABC 又有什么关系呢？
三、概念剖析
（一）三角形外角的性质
问题 1：观察图形：三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢
外角
相邻内角
三角形的外角和它相邻的内角组成一个平角！
即：三角形的外角和它相邻的内角互补！
思考：三角形的外角和它不相邻的内角又有着什么关系呢？
三、概念剖析
问题2：如图，△ABC的外角∠CBD与其不相邻的两个内角∠A和∠C有什么关系？请试着说明.
故：∠CBD = 180°– ∠ABC（等式的性质）；
在△ABC中：∠A + ∠C + ∠ABC = 180°（三角形内角和定理）；
说明：由图可知：∠ABC + ∠CBD = 180°；
故： ∠A + ∠C = 180°– ∠ABC；
故 ∠CBD = ∠A + ∠C（等量代换）
关系： ∠CBD = ∠A + ∠C；
三、概念剖析
性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
总结：三角形外角的性质1
三、概念剖析
如图 ∠CBD = ∠A + ∠C，∠A＞0°，∠C＞0°，
我们知道三角形的内角度数一定是大于0；
显然 ∠CBD＞∠A，∠CBD＞∠C.
由此我们得出：
推论：三角形外角的性质2
性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
例 1：如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，试着求：
（1）∠BEC 的度数； （2） ∠BFC 的度数；
典型例题
分析：（1）要求 ∠BEC ，只需找出 ∠BEC 所关联的外角关系即可；
B
C
A
E
D
F
根据三角形外角的性质1可得：∠BEC = ∠A + ∠ACE；
已知：∠A = 42°，∠ACE = 18°；
代入得：∠BEC = 60°；
解：（1）如图所示，∠BEC是△AEC的一个外角；
故 ∠BEC = 60°．
（2）如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求：∠BFC 的度数；
典型例题
分析：（2）找出 ∠BFC 所关联的外角关系即可；
B
C
A
E
D
F
根据三角形外角的性质1可得：
∠BFC = ∠EBF + ∠BEC；
由（1）可知：∠BEC = 60°；
又已知： ∠ EBF = ∠ABD = 28°；
解：（2）如图所示，∠BFC是△BEF的一个外角；
故 ∠BFC = 88°.
方法总结：
三角形组合图形问题：只给出某些角的度数，让我们求另一个角的度数；
这类题型一般解法：利用三角形内角和定理以及三角形外角的性质，找出已知角的度数和需要求的角的度数之间的关系；
分析：一般先从需要求的角与其他角的关系出发，一步步把所有未知量用已知量表示.
典型例题
【当堂检测】
1. 求出下列图形中 ∠ 1 和 ∠ 2 的度数.
70°
1
2
(2)
解：在图(1)中，∠1 = 180°– 60°– 75°= 45°，∠2 = 60°+ 75°= 135°；
在图(2)中，∠1 = 90°– 70°= 20°，∠2 = 70°+ 90°= 160°；
在图(3)中，∠2 = 50°+ 60°= 110°，∠1 = 180°– ∠2 – 40°= 30°.
1
2
60°
75°
(1)
(3)
2
1
50°
40°
60°
1
A
C
B
D
2. 如图，∠ADC = 70°， ∠1 = ∠B ，求 ∠B 的度数.
【当堂检测】
解：如图，在△ABD中： ∠ADC 是△ABD的一个外角；
即：∠ADC = ∠1 + ∠B ；
又 ∠ADC = 70°， ∠1 = ∠B；
得 ∠1 = ∠B = 35°；
故 ∠B = 35°．
三、概念剖析
（二）三角形的外角和
概念 1：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和即是：三角形的内角和；
如图所示：∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 就是△ABC的外角和；
1
2
3
B
C
A
思考：三角形的外角和为多少？
易错：① 取内角相邻的外角；
② 两个相邻外角只取一个；
问题 1：求三角形的外角和 ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 =
由图可知：∠1 + ∠BAC = 180°；
∠2 + ∠ABC = 180°；
∠3 + ∠BCA = 180°；
则：∠1 + ∠BAC + ∠2 + ∠ABC + ∠3 + ∠BCA = 3×180°；
又：∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°；
故：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°；
结论：三角形的外角和为360°.
1
2
3
B
C
A
三、概念剖析
解： ∵∠1、∠2、∠3 分别是△ABN、△CDP、△EFM的外角；
∴ ∠1 = ∠A + ∠B，∠2 = ∠C + ∠D，∠3 = ∠E + ∠F；
∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 ；
又 ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 是 △PMN 的外角和；
∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360°
例 2：如图，试求出 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ________.
360°
典型例题
3. 如图，已知三角形的两个外角 ∠1 = 125°、 ∠2 = 100°，则 ∠3 的度数为（ ）
A. 115° B. 125°
C. 135° D. 360°
【当堂检测】
C
1
2
3
B
C
A
四、课堂总结
三角形的外角
性质 1：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
外角和：三角形的外角和为 360°；
性质 2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；