2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册17.2.1 直接开方法课件(共14张PPT)

(共14张PPT)
17.2 一元二次方程的解法
1.直接开方法
第十七章 一元二次方程
一、学习目标
1.会用直接开平方法解形如x2=m,(ax+n)2=m(m≥0)的一元二次方程
2.知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方运算
二、新课导入
(15+x)2=300
市区内有一块边长为15米的正方形绿地,为了城市规划,需扩大绿化面积,预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,设这块绿地的边长增加了x米，请列出方程.
怎么求解这个方程？
三、概念剖析
对于形如x2=m(m≥0)的方程,可以直接用开平方得到x= .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法,简称开平方法.
回答下列问题：
(1)9的平方根是 ，那么x2=9的根是 ；
(2)0的平方根是 ，那么x2=0的根是 ；
(3)-1的平方根 ，那么x2=-1的根 ；
±3
±3
0
0
不存在
不存在
四、典型例题
例1.用直接开平方法解下列方程：
（1）y2-64=0 （2）16x2-25=0
解：(1)移项，得y2=64
开平方，得y1=8,y2=-8
(2)移项，得16x2=25
两边同时除以16，得x2=
开平方，得x1= ,x2=
提示：将方程化成x2=m(m≥0)的形式再求解
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .
四、典型例题
例2.解方程：
（1）(3x+ )2=0 （2）2(x+1)2-6=0
解：（1）开平方，得3x+ =0
解得x=
提示：①括号内看成一个整体
②将方程化成(ax+n)2=m(m≥0)的形式再求解
（2）移项，得2(x+1)2=6
两边同时除以2，得(x+1)2=3
开平方，得x+1=
解得x1= ,x2=
四、典型例题
归纳总结：
用直接开平方法还可以解形如(ax+n)2=m(m≥0)方程
从(ax+n)2=m ax+n=
实质上：一元二次方程 两个一元一次方程
变形
转化
四、典型例题
思考：如果等号两边都是数的平方，怎么求解？以(2x-1)2=(2-x)2为例.
提示：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数
解：开平方，得2x-1=±(2-x)
当2x-1=2-x时，解得x=1
当2x-1=-(2-x)时，解得x=-1
综上所述：x1=1,x2=-1
形如(ax+b)2=(cx+d)2的方程,可以用直接开平方法解决,得到两个关于未知数的一元一次方程,即ax+b=±(cx+d)
四、典型例题
【当堂检测】
1.判断下列一元二次方程能否用直接开方法求解,用“ ”“×”表示.
(1)x2=2 ( )
(2)p2-49=0 ( )
(3)x2=3x2-5 ( )
(4)(5x+9)2-2x-16=0 ( )
(5)121-(y+3)2=0 ( )
×
√
√
√
√
√
【当堂检测】
2.用直接开平方法解下列方程
（1）(2x+3)2=24 （2）(x-2)2=3 （3）(1-3x)2=x2
解：（1）开平方，得2x+3=
解得x1= ,x2=
（2）两边同时乘以3，得(x-2)2=9
开平方，得x-2=±3
解得x1=5,x2=-1
（3）开平方，得1-3x=±x
解得x1=0.25,x2=0.5
例3.探究一元二次方程a(x-n)2=m的解的个数情况及其a、m的符号关系.
关键信息：题目隐藏的条件a≠0
解：a(x-n)2=m可化简为(x-n)2=
根据平方根的性质分三种情况讨论，
①方程无解，则 <0，
此时a、m异号
②方程有一个解，则 =0，
此时a≠0，m=0
③方程有两个解，则 >0，
此时a、m同号
平方根性质：正数有两个平方根，0的平方根为0，负数没有平方根.
四、典型例题
【当堂检测】
3.下列选项中，使得关于x的一元二次方程(m+1)(x-4)2=m+m2有两个相同的解的是( )
A.m=-1 B.m=0 C.m=0或-1 D.m=4
B
五、课堂总结
1.直接开平方法的依据是数的开方运算;
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x2=m(m≥0)或(ax+n)2=m(m≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当m<0时，原方程x2=m无解.