2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册17.3 一元二次方程根的判别式课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
第十七章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
一、学习目标
1.能熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况
2.会根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围
二、新课导入
1.解一元二次方程的方法有哪些？
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法
2.写出公式法中的求根公式.
复习导入
想一想：
根据求根公式 可不可以快速写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根？
三、概念剖析
可以，当b2-4ac<0时，求根公式不存在，即方程无根
当b2-4ac≥0时，
特别地，b2-4ac=0时，计算发现：
三、概念剖析
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ= b2-4ac.
一元二次方程根的情况：
当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程没有实数根.
例1.不解方程判断方程根的情况：
(1)2x2+4x+4=x-3 (2)x2-kx-1=0
解：(1)化成一般式：2x2+3x+7=0
a=2，b=3,c=7
∴△=b2-4ac=32-4×2×7=-47<0
∴方程无实数根
提示：先写出判别式△，再根据△的正负写出结论
四、典型例题
(2)a=1，b=-k,c=-1
∴△=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4>0
∴方程有两个不相等的实数根
例1.(3)x2-(2+m)x+2m-1=0
(3)a=1，b=-(2+m),c=2m-1
∴△=b2-4ac=[-(2+m)]2-4×1×(2m-1)=m2-4m+8
m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4
根据平方的性质可知：(m-2)2≥0
∴(m-2)2+4>0,即△>0
∴方程有两个不相等的实数根
怎么判断大小
四、典型例题
含有字母系数时，配方后判断
求解方程根的情况的步骤：
①把方程先转化成一般形式,确定a,b,c的值；
②再计算出Δ的值；
③最后确定方程根的情况.
四、典型例题
【当堂检测】
1.下列对一元二次方程x2-x-3=0根的情况的判断，正确的是（　　）
A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根
C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
A
2.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证：方程恒有实数根；
证：a=1,b=-(k+3),c=2k+2
∴△=b2-4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)
=k2-2k+1
=(k-1)2≥0
∴方程总有实数根.
【当堂检测】
2.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
解：因式分解，得[x-(k+1)](x-2)=0
有x-(k+1)=0或x-2=0
解得x1=k+1,x2=2
根据题意有k+1<1
解得k<0
【当堂检测】
例2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0有两个不等实根，求m的最大整数值.
解：a＝m-1，b＝-2，c＝3
△=b2-4ac=(-2)2－4×(m-1)×3＝16-12m
依题有：△>0,即16-12m>0
解得m<
因为该方程是一元二次方程，则m-1≠0
解得m≠1
综上所述：m的取值范围是：m< 且m≠1
故m的最大整数值是0
注意：不要忽略一元二次方程二次项系数不为0
四、典型例题
【当堂检测】
3.关于x的方程x2- x-1=0有两不等实数根，则k的取值范围是( )
A.k>0 B.k≥0
C.k>1 D.k≥1
注意：题目有个隐藏条件：k-1≥0
D
【当堂检测】
4.关于x的一元二次方程(k-1)x2-4x+2=0有实数根，求k的取值范围.
解：a＝k-1，b＝-4，c＝2
△=b2-4ac=(-4)2－4×(k-1)×2＝24-8k
依题有：△≥0,即24-8k≥0
解得k≤3
因为该方程是一元二次方程，则k-1≠0
解得k≠1
综上所述：k的取值范围是：k≤3且k≠1
五、课堂总结
1.一元二次方程中当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程没有实数根.
2.在解题过程中要注意题目中的隐藏条件，比如一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0，二次根式中被开方数大于等于0.