19.3.3 正方形 第1课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册
文档属性
| 名称 | 19.3.3 正方形 第1课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 857.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 08:57:47 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
第十九章 四边形
19.3.3 矩形、菱形、正方形
第1课时
1.探索并证明正方形的性质，并了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别
2.会运用正方形的性质进行有关的论证和计算
一、学习目标
情景引入
二、新课导入
你还能举出其他的例子吗？
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
（一）正方形的定义
三、概念剖析
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
⑴有一个角是直角的平行四边形（矩形）
⑵并且有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
两层含义
正方形
三、概念剖析
（二）各平行四边形的关系
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
三、概念剖析
（二）各平行四边形的关系
平行四边形
矩 形
菱 形
正方形
对角线相等
对角线垂直
对角线相等
对角线垂直
对角线垂直且相等
三、概念剖析
（二）各平行四边形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
三、概念剖析
（三）正方形的性质
正方形不仅是平行四边形、矩形，还是菱形.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
性质1：四条边都相等，四个角都是直角.
性质2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
三、概念剖析
思考：正方形是不是轴对称图形？如果是,对称轴有几条？
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
例1.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，
求证：∠EAD=∠EDA=15°.
证明：∵ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
四、典型例题
点拨：由正方形ABCD和△BEC是等边三角形可得△ABE和△DCE是等腰三角形，得到∠BAE和∠CDE的度数，从而证明即可.
总结：
正方形的性质：
性质1：四条边都相等，四个角都是直角.
四、典型例题
1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数
是 .
【当堂检测】
分析：解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AE，
又∵△ADE是正三角形，
∴∠DAE=∠AED=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.
45°
2.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
【当堂检测】
点拨：由PB=PC得∠PBC=∠PCB，从而得到∠ABP=∠DCP，又AB=DC，PB=PC，可证△APB≌△DPC.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC（SAS）．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
点拨：由（1）得∠BAC=∠DAC=45°，△PAD是等边三角形，可求得PAC=∠DAP-∠DAC=15°，∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°，据此证明结论.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°,
∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
【当堂检测】
例2.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
点拨：连接PC，根据正方形的性质可证明△ADP≌CDP（SAS），由此得PA=PC，又四边形PECF是矩形，PC=EF，可得结论.
四、典型例题
A
B
C
D
P
E
F
解：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，
∴△ADP≌CDP（SAS），
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF.
∴AP=EF.
想一想：你还有其他的解题方法吗？
四、典型例题
A
B
C
D
P
E
F
方法二：
解：连接PC，AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD，
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF.
∴AP=EF.
总结：
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
四、典型例题
性质2：对角线相等且互相垂直平分.
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
【当堂检测】
分析：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
因此，正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
D
分析：根据正方形的性质可得AC⊥BD，AO=OD=2，由勾股定理得正方形的边长，据此可求正方形的周长与面积.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OD=2，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
【当堂检测】
4.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO=2，求正方形的周长与面积．
∴正方形的周长为4AD= ，面积为AD2=8.
五、课堂总结
正方形的性质：
性质1：四条边都相等，四个角都是直角.
性质2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
第十九章 四边形
19.3.3 矩形、菱形、正方形
第1课时
1.探索并证明正方形的性质，并了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别
2.会运用正方形的性质进行有关的论证和计算
一、学习目标
情景引入
二、新课导入
你还能举出其他的例子吗？
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
（一）正方形的定义
三、概念剖析
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
⑴有一个角是直角的平行四边形（矩形）
⑵并且有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
两层含义
正方形
三、概念剖析
（二）各平行四边形的关系
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
三、概念剖析
（二）各平行四边形的关系
平行四边形
矩 形
菱 形
正方形
对角线相等
对角线垂直
对角线相等
对角线垂直
对角线垂直且相等
三、概念剖析
（二）各平行四边形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
三、概念剖析
（三）正方形的性质
正方形不仅是平行四边形、矩形，还是菱形.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
性质1：四条边都相等，四个角都是直角.
性质2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
三、概念剖析
思考：正方形是不是轴对称图形？如果是,对称轴有几条？
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
例1.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，
求证：∠EAD=∠EDA=15°.
证明：∵ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
四、典型例题
点拨：由正方形ABCD和△BEC是等边三角形可得△ABE和△DCE是等腰三角形，得到∠BAE和∠CDE的度数，从而证明即可.
总结：
正方形的性质：
性质1：四条边都相等，四个角都是直角.
四、典型例题
1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数
是 .
【当堂检测】
分析：解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AE，
又∵△ADE是正三角形，
∴∠DAE=∠AED=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.
45°
2.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
【当堂检测】
点拨：由PB=PC得∠PBC=∠PCB，从而得到∠ABP=∠DCP，又AB=DC，PB=PC，可证△APB≌△DPC.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC（SAS）．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
点拨：由（1）得∠BAC=∠DAC=45°，△PAD是等边三角形，可求得PAC=∠DAP-∠DAC=15°，∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°，据此证明结论.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°,
∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
【当堂检测】
例2.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
点拨：连接PC，根据正方形的性质可证明△ADP≌CDP（SAS），由此得PA=PC，又四边形PECF是矩形，PC=EF，可得结论.
四、典型例题
A
B
C
D
P
E
F
解：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，
∴△ADP≌CDP（SAS），
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF.
∴AP=EF.
想一想：你还有其他的解题方法吗？
四、典型例题
A
B
C
D
P
E
F
方法二：
解：连接PC，AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD，
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF.
∴AP=EF.
总结：
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
四、典型例题
性质2：对角线相等且互相垂直平分.
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
【当堂检测】
分析：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
因此，正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
D
分析：根据正方形的性质可得AC⊥BD，AO=OD=2，由勾股定理得正方形的边长，据此可求正方形的周长与面积.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OD=2，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
【当堂检测】
4.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO=2，求正方形的周长与面积．
∴正方形的周长为4AD= ，面积为AD2=8.
五、课堂总结
正方形的性质：
性质1：四条边都相等，四个角都是直角.
性质2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.