第19章 四边形 复习课 课件(共33张PPT) 2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册

(共33张PPT)
复习课
第十九章 四边形
1.知道多边形的内角和与外角和定理并会证明
2.能说出平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，并能运用它们解决问题
3.能说出三角形中位线定理，并能运用它解决问题
一、学习目标
二、知识结构
知识点梳理：
多边形的内角和等于(n-2) ×180 °，多边形的外角和等于 360 °.
1.多边形的内角和与外角和
正多边形每个内角的度数是 .
正多边形每个外角的度数是 .
三、知识梳理
2.平行四边形的性质
文字叙述 几何语言
对边平行
对边相等
对角相等
∴AD=BC，AB=DC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC.
三、知识梳理
平行线之间的距离处处相等.
3.平行四边形的判定
文字叙述 几何语言
两组对边分别平行（定义）
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=DC，AB∥DC，
对角线互相平分
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
三、知识梳理
4.三角形的中位线
（1）三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
用符号语言表示
（2）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， .
三、知识梳理
5.矩形、菱形、正方形的性质
项目 四边形 对边 角 对角线
平行且相等
平行且四边相等
平行且四边相等
四个角都是直角
对角相等邻角互补
四个角都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
三、知识梳理
三、知识梳理
6.矩形、菱形、正方形的判定方法
四边形 条件
①定义：有一个角是直角的平行四边形
②三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
①定义：一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形
③有一个角是直角的菱形
知识点1：多边形的内角和与外角和
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x，
∴x+4x=180°,解得 x=36°.
∴这个多边形的边数n=360°÷36°=10.
四、典型例题
例1：已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
点拨：设根据每个外角都等于相邻内角的 ，并且外角与相邻的内角互补，就可求出每个外角的度数，根据每个外角度数可求得边数.
四、典型例题
归纳：
在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
1.一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其边数是 .
分析：∵该多边形的每一个内角都等于120°，
∴它的每一个外角都等于60 °.
∴这个正多边形的边数是360°÷60°=6.
【当堂检测】
6
点拨：A.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正确；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，故B正确；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，故C正确；
D.AC=BC错误.
例2：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC=BC
四、典型例题
知识点2：平行四边形的性质
D
总结：本题主要考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等.
分析：由平行四边形的性质得出AB=DC，AD∥BC且AD=BC，证出∠DAE=∠BEA，由角平分线的定义得∠EAB=∠DAE，推出AB=BE，同理CD=DF，则DF=BE，由此证明即可.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC且AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA，∠DFC=∠BCF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F.求证：AF=EC．
【当堂检测】
∴∠EAB=∠DAE，∠BCF=∠DCF，
∴∠EAB=∠BEA，∠DCF=∠DFC，
∴AB=BE，CD=DF，则DF=BE，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=CE.
例3：如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
四、典型例题
A
点拨：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm，
∵∠ODA=90°，
∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm，
∴AD= =4cm.
总结：本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
分析：∵在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长=BO+CO+BC=19+12+28=59(cm)．
B
3.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　　）
A．45cm B．59cm
C．62cm D．90cm
【当堂检测】
四、典型例题
例4：如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO
知识点3：平行四边形的判定
点拨：A.根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，选项正确；
B.根据AB∥CD可得∠BAD+∠ADC=180°，又由∠BAD=∠BCD可得∠BCD+∠ADC=180°，则AD∥BC，根据两组对边分别平行可以判定；
C.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明；
D.AB=CD，AO=CO不能证明四边形ABCD是平行四边形.
D
四、典型例题
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
归纳：
4.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求证：AB=EF．
（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF.
【当堂检测】
分析：利用AAS证明△ABC≌△EFD，再根据全等三角形的性质可得AB=EF.
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠ABF=∠EFB，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
∴四边形ABEF为平行四边形.
【当堂检测】
分析：首先根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠EFD，再根据平行线的判定可得AB∥EF，又AB=EF，可证四边形ABEF为平行四边形.
知识点4：三角形的中位线
点拨：过点D作DG∥BF，交AC于点G，根据AD是△ABC的中线和三角形中位线的逆定理可得G是CF的中点，由E是AD的中点，EF∥DG可知F是AG的中点，从而证明即可.
证明：过点D作DG∥BF,交AC于点G.
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点.
四、典型例题
例5：已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.求证：AF= FC.
A
B
C
D
E
F
G
∵E是AD的中点，EF∥DG，
∴AF=FG，
∴CG=GF= CF.
∴AF= FC.
5.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为＿＿___＿.
分析：设三角形的三条中位线之长分别为6x，5x，4x，
则三角形的三条边长之长分别为12x，10x，8x，
依题意得， 12x＋10x＋8x=60，
解得x=2，
∴最长边的边长为12x=24（cm）.
【当堂检测】
24 cm
知识点5：矩形的性质和判定
例6：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120°,AB=2.5，求矩形对角线的长.
四、典型例题
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
点拨：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB
= AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可.
∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2.5，AC=2OA=5.
答：矩形对角线的长为5.
6.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求 ABCD的面积.
分析：根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=4，由平行四边形的性质可知OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=8，可判定四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可得 ABCD的面积.
【当堂检测】
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC，OB=OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°，
∴AC=BD=2OA=2×4=8，
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°，
【当堂检测】
A
B
C
D
O
在Rt△ABC中， ,
∴S ABCD= .
知识点6：菱形的性质和判定
点拨：根据菱形的性质结合∠BAD=60°得出△ABD是等边三角形，求出AB的长，由菱形的对角线互相平分得OB=3，从而求AO的长得到对角线AC的长.
例7：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
四、典型例题
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OB=OD= BD= ×6=3，
又∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=6，
在Rt△ABO中，
∴AC=2AO= .
分析：根据AB、OA、OB的长可得∠AOB=90°，即AC⊥BD，由对角线互相互相垂直的平行四边形是菱形判定即可.
【当堂检测】
7.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1.求证： ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
证明：∵在△AOB中，AB= ，OA=2，OB=1，
∴AB =OA +OB ，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
知识点7：正方形的性质和判定
点拨：根据正方形的性质可得BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，由边角边可证△BCE≌△DCF，得出BD=DF，延长BE交DF于点H，进而求出∠DEH+∠EDH=90°，证明BE⊥DF.
例8：如图在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
四、典型例题
解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC，∠BCE=90°，
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF（SAS）.
∴BE=DF.
（2）延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90° ,
∴∠CDF+∠F=90°，
∴∠CBE+∠F=90°，即∠BMF=90°，
∴BE⊥DF.
四、典型例题
A
B
D
F
E
C
M
分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形；再由邻边相等，得出是菱形；最后由一个角是直角可得正方形.
【当堂检测】
8.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°，∠DCB=90°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°,
∴∠EBC=∠ECB .
∴EB=EC，
∴ BECF是菱形，
在△EBC中，∠EBC=45°,∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形.
五、课堂总结
性质
平行四边形
判定
平行四边形
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
四边形
两组对边分别平行的
两组对边分别相等的
对角线互相平分的
一组对边平行且相等的
五、课堂总结
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
多边形的内角和与外角和
内角和计算公式
（n-2) × 180 °（n≥3的整数）
外角和计算公式
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关
正多边形
内角= ，外角=
五、课堂总结
四边形的分类及转化
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一对邻边相等
（或对角线互相垂直）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直且相等）
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一组邻边相等
（或对角线互相垂直）