8.3 完全平方公式与平方差公式 第1课时 课件(共18张PPT) 2023-2024学年初中数学沪科版七年级下册

(共18张PPT)
第 8 章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
2.能够运用完全平方公式进行整式乘法的运算.(重点)
1.通过探索完全平方公式的计算规律，理解并掌握完全平方公式；
一、学习目标
二、新课导入
一个老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿
出糖果招待他们.来一个孩子老人就给孩子一块糖；来两个孩子，老人
就给每个孩子两块糖...
思考：老人前两天加起来给的糖果多，还是第三天给的糖果多？
(1)第一天，来了a个男孩子；老人一共给了a2块糖；
(2)第二天，来了b个女孩子；老人一共给了b2块糖；
(3)第三天，这些孩子都来了；老人一共给了(a+b)2个糖.
三、概念剖析
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(p+1)2=(p+1)(p+1) = .
(m+2)2 = .
(p-1)2=(p-1)(p-1) = .
(4) (m-2)2 = .
p2+2p+1
m2+4m+4
结果一共有 项；第一项为 ，最后一项为 .
p2-2p+1
m2-4m+4
上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，
3
a2
b2
三、概念剖析
由于(a+b)2=
(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a-b)2=
(a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
所以，对于这种形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
三、概念剖析
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加(或减)
这两个数乘积的2倍.
上面两个公式今后可以直接应用于计算，称为完全平方公式.
完全平方公式是多项式乘法(a+b)(m+n)中m=a，n=b的特殊情形.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
三、概念剖析
思考：你能根据下面两幅图的面积说明完全平方公式吗？
a
a
b
b
图1
图1的大正方形面积计算方式有两种，
将它看作整体的面积为：
(a+b)(a+b)=(a+b)2
将它看作4个矩形拼成面积为：
a2+ab+ab+b2
故(a+b)2=a2+2ab+b2.
三、概念剖析
思考：你能根据下面两幅图的面积说明完全平方公式吗？
a
a
b
b
图2
图2中的我们来计算正方形①的面积，
利用边长直接计算得：
(a-b)(a-b)=(a-b)2
利用大正方形减去其他3个矩形得：
a2-2(a-b)b-b2
故(a-b)2=a2-2ab+b2.
①
=a2-2ab+b2
四、典型例题
解：(1)原式=
(4m)2 +2·(4m)·n+n2
=16m2+8mn+n2；
归纳：先和公式对照，分清楚a和b；公式中2ab前面的2不要遗漏.
(2)原式=
例1. 运用完全平方公式计算.
(1)(4m+n)2 (2)(y- )2
分析：对比公式，分清a和b，直接套用公式即可.
(1)式可套用公式(a+b)2=a2+2ab+b2，这里a是4m，b是n；
(2)式可套用公式(a-b)2=a2-2ab+b2，这里a是y，b是 .
y2-2·y· +( )2
=y2-y+
【当堂检测】
1.下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正.
(1)(a+b)2=a2+b2； (2)(a-b)2=a2-ab+b2； (3)(a-2)2=a2+4a+4
(1)我们知道完全平方公式的计算结果是有三项的，这里很明显漏项了；
(2)对比公式发现结果中“-ab”错误；
(3)这里混淆了两种公式(a+b)2和(a-b)2的结果；
改正：(a+b)2=a2+2ab+b2
改正：(a-b)2=a2-2ab+b2.
改正：(a-2)2=a2-4a+4.
2.运用完全平方公式计算
【当堂检测】
（2）(a-4)2 ；
（1）（x+3)2 ；
（3）(2x-5)2 ；
解：
(1)原式=x2+2·x·3+32=x2+6x+9；
(2)原式=a2-2·a·4+42=a2-8a+16；
(3)原式=(2x)2-2×5·(2x)+52=4x2-20x+25；
（4）( x+ y)2 .
(4)原式=( x)2+2·( x)·( y)+( y)2= x2+ xy+ y2.
四、典型例题
例2.利用完全平方公式计算下列两组式子.
(1)(a+2)2和(-a-2)2 (2)(b-2)2和(2-b)2
解：
(1)(a+2)2=a2+2·a·2+22
=a2+4a+4
归纳：(-a-b)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2.
(-a-2)2=[-(a+2)]2
=(a+2)2
=a2+4a+4
(2)(b-2)2=b2-2·b·2+b2
=b2-4b+4
(2-b)2=[-(b-2)]2
=(b-2)2
=b2-4b+4
3．运用完全平方公式计算
(1)(-2x-3)2 (2)(-4a+5)2
【当堂检测】
解：
=16a2-40a+25
(1)原式=(2x+3)2
=4x2+12x+9
(2)原式=(4a-5)2
四、典型例题
例3.运用完全平方公式计算：
(1)1022 ； (2)992 .
解：
分析：为方便计算，这里的102可看作100+2,99可看作100-1.
(1)原式=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404；
(2)原式=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801.
4．运用完全平方公式计算
(1)512; (2)982.
【当堂检测】
解：
(1)原式=(50+1)2
=2500+100+1
=2601;
(2)原式=(100-2)2
=10000-400+4
=9604.
四、典型例题
例4.已知：x+y=2，xy=-3，求x2+y2的值.
解：
分析：根据完全平方公式得：(x+y)2=x2+2xy+y2，
故x2+y2=(x+y)2 -2xy.
总结：解题时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
因为(x+y)2=x2+2xy+y2，
所以x2+y2=(x+y)2 -2xy.
因为x+y=2，xy=-3，
所以x2+y2=22-2×(-3)=10.
5．填空
(1)若p-q=5，pq=4，则2p2+2q2= ；
【当堂检测】
(2)若(p+q)2=7，(p-q)2=3，则pq= .
66
1
提示：(a+b)2-(a-b)2=4ab.
解析：2p2+2q2=2(p2+q2)=2[(p-q)2+2pq]=2×(25+8)=66；
五、课堂总结
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加(或减)
这两个数乘积的2倍.
语言描述：
符号描述：
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
公式推广：
1.(-a-b)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2；
2.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；
3.4ab=(a+b)2-(a-b)2.