2023-2024学年初中数学沪科版七年级下册8.3 完全平方公式与平方差公式 第2课时课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
第 8 章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
第2课时 平方差公式
1.能用多项式乘法推导平方差公式，会用图形的面积割补说明
平方差公式；
2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算；(重点)
3.会用乘法公式简化运算，知道对复杂算式进行转化或应用整体
的思想.
一、学习目标
二、新课导入
某学校对操场进行改造，原来的操场是长方形，改建后为正方形；
正方形的边长比原来长方形的长少6米，比原来长方形的宽多6米.
你们猜，现在的操场面积比原来大了还是小了？
三、概念剖析
之前我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．
计算下列各式，你能得到(a+b)(a-b)的计算公式吗？
(x+1)(x-1) = .
(m+2)(m-2) = .
(2x+1)(2x-1) = .
x2-1
m2-4
4x2-1
三、概念剖析
由于(a+b)(a-b)=
a2-ab+ab-b2
=a2-b2
抵消
所以，对于这种形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a+b)(a-b)=a2-b2
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
平分差公式属于多项式乘法计算，它是(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形.
三、概念剖析
思考：你能根据右边图形的面积
说明平方差公式吗？
3
4
1
2
a
a
b
b
b
图形1+3的面积为大正形的面积减去小正方形的面积：a2-b2；
图形2和图形3的面积均为(a-b)b，故图形2的面积等于图形3的面积；
因此图形1+2的面积和图形1+3的面积相等，为：a2-b2；
把图形1+2当作一个大长方形，用长乘宽计算它的面积为：(a+b)(a-b)；
所以(a+b)(a-b)=a2-b2.
例1. 运用平方差公式计算.
(1)(3x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y)
四、典型例题
解：(1)原式=
(3x)2-22
=9x2-4
总结：先和计算公式对照，分清楚哪部分是a，哪部分是b.
(2)原式=
(-x)2-(2y)2
分析：我们已经知道平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，在(1)中，把3x看作a，
2看成b；在(2)中把-x看作a，2y看作b.
=x2-4y2
1.运用平方差公式计算
【当堂检测】
（2）(x+2y)(x-2y)
（4）(2x+y)(2x-y)-(4x+y)(x-y)
（1）（a+2）(a-2)
（3）(-a-3)(3-a)
解：
(1)原式=a2-22=a2-4
(2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2
(3)原式=(-a+3)(-a-3)=(-a)2-32=a2-9
(4)原式=4x2-y2-(4x2-3xy-y2)=3xy
提示：像(3)中不管它怎样变换位置，我们只需根据平方差公式中a的
符号相同，b的符号相反便可转化成熟悉的形式.
例2. 运用平方差公式计算.
(1)(y+2)(y-2)(y2+4) (2)(a+b)(a2+b2)(a-b)
四、典型例题
(1)原式=(y2-4)(y2+4)
解：
=y4-16.
(2)原式=(a+b)(a-b)(a2+b2)
=(a2 -b2)(a2+b2)
=a4-b4.
【当堂检测】
2．化简
(1)(a-1)(a+1)(a2+1) (2)(x-2)(x2+4)(x+2)
解：
(1)原式=(a2-1) (a2+1)
=a4-1
(2)原式=(x+2)(x-2)(x2+4)
=(x2-4)(x2+4)
=x4-16
四、典型例题
例3.运用平方差公式简化运算.
(1)101×99 (2)20192-2020×2018
解：
(1)原式=(100+1)(100-1)
分析：(1)(2)两式直接计算会有些麻烦；但是在(1)式中我们发现101=100+1,
99=100-1.故可以利用平方差公式进行计算.(2)式同理.
=1002-12
=9999
(2)原式=20192-(2019+1)(2019-1)
=20192-(20192-1)
=1
总结：可以利用平方差公式进行一些快捷计算.
3．简便计算
(1)1002×998 (2)206×97
【当堂检测】
解：
(1)原式=(1000+2)(1000-2)
=10002-22
=1000000-4
=999996.
(2)原式=2×103×97
=2×(100+3)(100-3)
=2×(10000-9)
=19982.
四、典型例题
例4.计算：
(1)(a+b+c)2
分析：这个式子中多项式含有3项，无法直接套用直接所学的乘法公式计算，
故我们可以将其中两项看作一个整体，再套用公式计算.
解：
原式= [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2(a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
四、典型例题
(2)(a-b)3
分析：同样这个式也无法直接套用直接所学的乘法公式计算，
我们把它化作(a-b)·(a-b)2 ，就可以套用完全平方公式计算了.
解：
原式=(a-b)(a-b)2
=(a-b)(a2-2ab+b2)
=a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3
=a3-3a2b+3ab2-b3.
4．计算
(1)(a+b)3 (2)(a-b-c)2
【当堂检测】
解：
原式=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
原式= [ (a-b) -c ]2
= (a-b)2 -2(a-b)c +c2
= a2-2ab +b2 -2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 -2ab+2bc -2ac.
(3)[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
【当堂检测】
原式=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9.
五、课堂总结
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
文字描述：
符号描述：
注意：
1.计算时先和计算公式对照，分清楚哪部分是a，哪部分是b；
2.只有符合公式条件的乘法才能用公式简化运算；
3.对复杂算式进行转化或应用整体的思想