第8章 整式乘法和因式分解 复习课 课件 38张PPT 2023-2024学年初中数学沪科版七年级下册

(共38张PPT)
第 8 章 整式乘法与因式分解
复习课
一、学习目标
1.掌握与幂相关的运算，整式的乘法运算；
2.掌握乘法公式，能应用乘法公式简化整式的乘法运算；
3.能运用提公因式法与乘法公式，将一个多项式因式分解.
二、知识结构
整式的乘法
幂的运算性质
同底数幂的乘法：am·an=am﹢n（m，n是正整数）
幂的乘方：（am）n=amn（ m，n是正整数）
积的乘方：（ab）n=anbn（ n是正整数）
同底数幂的除法：am÷an=am-n
（ a≠0，m，n是正整数）
二、知识结构
整式的乘法
整式乘法
单项式乘单项式
用分配律转化
单项式乘多项式
用分配律转化
多项式乘多项式
乘法公式
(a﹢b)(a﹣b)=a2 -b2
(a±b)=a2±2ab+b2
科学计数法：N=a×10 （1≤a＜10），n为整数
二、知识结构
因式分解
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
提公因式法
方法
公式法
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
公因式
整式乘法
三、知识梳理
1.幂的运算
同底数幂的乘法：am·an=am﹢n（m，n是正整数）
幂的乘方：（am）n=amn（ m，n是正整数）
积的乘方：（ab）n=anbn（ n是正整数）
同底数幂的除法：am÷an=am-n（ a≠0，m，n是正整数，且m>n）
典型例题
例1.下列运算正确的是(　　)
A．(a2)m = a2m B．(2a)3 = 2a3
C．a3·a-5 = a-15 D．a3÷a-5 = a-2
解析：
(a2)m＝a2m，故A项正确；
(2a)3＝23a3＝8a3，故B项错误；
a3·a－5＝a3＋(－5)＝a－2，故C项错误；
a3÷a－5＝a3－(－5)＝a8，故D项错误．
答案为A.
A
典型例题
例2.(1)若3x＋2y＝3，则27x×9y＝________；
(2)( )2018×(1.5)2019＝________；
(3)若2×4n×16n＝219，则n＝________；
(4)计算：9105×( )70＝________．
解：
(1)27x×9y＝(33)x×(32)y＝33x＋2y＝33＝27.
(3)由已知得2×22n×24n＝219，故1＋2n＋4n＝19，解得n＝3.
27
3
1
(4)9105×( )70＝(32)105×[( )3]70＝3210×( )210＝(3× )210＝1.
(2)( )2018×(1.5)2019＝( )2018×( )2018× ＝( × )2018× ＝ .
典型例题
例3.计算：8(x4)6－2(x5·x3)3＋(－3x6)3·x4·x2＋x3÷x.
解析：本题是幂的混合运算，包含了幂的各种运算，应按照运算顺序及对
应的运算性质进行计算．
解：原式＝8x24－2x24－27x24＋x2
＝－21x24＋x2.
注意：运算时要分清是哪类运算，对号入座，按相应的法则运算．对于幂
的几个运算性质，运用时不但要会“熟练正用”，而且还要“灵活逆用”．
典型例题
归纳总结：同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；
同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0)；
幂的乘方：(am)n＝amn；积的乘方：
(a·b)m＝am·bm；
它们最终转化为指数的加法、减法、乘法运算．
【当堂检测】
2.(1)若∣p+3∣=(-2016)0，则p＝ ；
(2)若(x-2)0＝1，则x应满足的条件是 ．
1.下列计算不正确的是（ ）
A.2a3 ÷a-2=2a5 B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7 D. a2·a4=a8
-4或-2
x≠2
D
解析：a2·a4=a2+4=a6，故D选项错误.
解析：任何不等于0的数的0次幂都等于1,；故(1)中∣p+3∣=1，(2)中x-2≠0.
【当堂检测】
3. 0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301；
解：（1）原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5
=-1-0.5
=-1.5；
【当堂检测】
4.已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．
解：
103x＋2y=103x 102y
=(10x)3 (10y)2
=53×62
=4500.
2.整式的乘、除法则
三、知识梳理
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只
在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
(1)单项式与单项式相乘的法则：
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
(2)单项式与多项式相乘的法则：
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(3)多项式与多项式相乘的法则：
三、知识梳理
(4)单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于
只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
(5)多项式除以单项式的法则：
多项除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，
再把所得的商相加.
例4.计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
分析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；
二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y
当x=1,y=3时，原式= .
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
= - .
典型例题
典型例题
归纳总结：整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、
多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式
乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合
运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算
括号里的.
【当堂检测】
5.计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)；
(3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)．
解：(1)原式=2a2-6ab+5ab-15b2
=2a2-ab-15b2.
(2)原式=x3-x2+x+x2-x+1
=x3+1.
(3)原式=(-9x2+9xy-2y2)-(6x2-xy-y2)
=-15x2+10xy－y2.
【当堂检测】
6.(1)一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 ；
（2）已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,
则这个多项式A是 .
a2-2b+1
x2-2x-
【当堂检测】
7.计算：
(1)-10a5b3c÷5a4b= ；
(2)(8a2b-24ab3)÷4ab= ；
(3)(-2x2y)3÷(-2xy)2= ；
(4)(6a2b-8ab3-2b)÷2b= .
-2ab2c
2a-6b2
-2x4y
3a2-4ab2-1
三、知识梳理
3.乘法公式
完全平方公式：
平方差公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a+b)(a-b)=a2-b2.
典型例题
例5.计算：(1)(1－b)(－1－b)(b2－1)；
(2)(3m＋2)2(3m－2)2；
(3)(2x－3y＋1)(2x－3y－1)．
分析：利用平方差公式及完全平方公式计算.
解：
(1)原式＝(b2－1)(b2－1)＝(b2－1)2＝b4－2b2＋1.
(2)原式＝[(3m＋2)(3m－2)]2＝(9m2－4)2＝81m4－72m2＋16.
(3)原式＝(2x－3y)2－1＝4x2－12xy＋9y2－1.
典型例题
例6.如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
原式＝(200－2)×(200＋2)＋4
(1)图①中阴影部分的面积为_________，
图②中阴影部分的面积为__________；
(3)计算：198×202＋4.
(2)通过观察比较两图的阴影部分面积，
可以得到乘法公式为____________________(用式子表达)；
a2-b2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
解：
＝40000－4＋4
＝40000.
a
b
典型例题
归纳总结：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
特点：平方差公式中既有相同项，又有相反项，结果是“相同项”的平方
减去“相反项”的平方．
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
特点：左边是两数和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方
和加上(或减去)这两数之积的2倍．
【当堂检测】
8.(1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；
解：
由题意得：(x2-2x+1)-(x2-1)+3(1-x)=0，
x2-2x+1-x2+1+3-3x=0，
-5x+5=0，
解得x=1.
【当堂检测】
所以x+2=0,3y-1=0,解得x=-2, y= ,
解： 因为x2+9y2+4x-6y+5=0,
所以(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，
所以(x+2)2+(3y-1)2=0.
(2)已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.
典型例题
分析：本题是一个含有整式的乘方、乘法、加减的混合运算，根据式子的
特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键．
解：原式=a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2)
例7.先化简，再求值：(a－2b)2＋(a－b)(a＋b)－2(a－3b)(a－b)，
其中a＝ ，b＝－3.
当a= ，b=-3时，原式=4× ×(-3)-3×(－3)2=-6-27=-33.
=2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2.
典型例题
归纳总结：(1)本题要分清是否可用公式计算；
(2)本题综合应用了完全平方公式、平方差公式及多项式乘法法则；
(3)显然，先化简再求值比直接代入求值要简便得多．
【当堂检测】
9.计算：[(x+2y)2-(x+y)(3x-y)-5y2]÷2x．
解：原式=(x2+4xy+4y2-3x2+xy-3xy+y2-5y2)÷2x
=(-2x2+2xy)÷2x
=-x+y．
三、知识梳理
4.因式分解
ma+mb+mc
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
公式法
提公因式法
ma+mb+mc有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
公因式
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b)，
2.利用完全平方公式分解因式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2.
典型例题
例8. 把下列各式分解因式：
(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2； (2)a5－a；　　　　
(3)3(x2－4x)2－48； (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.
分析：(1)中(x－y)2＝(y－x)2，可直接提取公因式y－x；(2)(3)先提公因式，
再用公式法分解；(4)直接用公式法进行因式分解．
典型例题
(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2；
解：
(1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2
＝x(y－x)＋y(y－x)－(y－x)2
＝(y－x)[x＋y－(y－x)]
＝(y－x)(x＋y－y＋x)
＝2x(y－x)．
(2)a5－a；
＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
原式＝a(a2＋1)(a2－1)
典型例题
(3)3(x2－4x)2－48；
(4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.
解：
(3)原式=3[(x2－4x)2－16]
=3(x2－4x+4)(x2－4x-4)
=3(x－2)2(x2－4x-4).
(4)原式=[(y2－1)2－3]2
=[(y2－1+3)(y2 －1-3)]2
=[(y2－2)(y2 －4)]2
=[(y2－2)(y+4)(y-4)]2.
典型例题
归纳总结：(1)因式分解的步骤是：一提(提公因式)、二用(用公式法分解)、
三检查(检查分解是否彻底)．
(2)可以用平方差公式分解的多项式的特点是：
多项式由符号相反的两项组成，且每项都是完全平方的形式，即a2－b2的形式；
多项式中a，b既可以是单项式也可以是多项式．
(3)形如a2±2ab＋b2的多项式可以应用完全平方公式分解因式，这里的a，b既
可以是单项式也可以是多项式．
【当堂检测】
10.下列变形，是因式分解的是（ ）
A. a(x+y)=ax+ay
B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)
C. am2-a=a(m+1)(m-1)
D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.
C
【当堂检测】
11．分解因式：
(1)a(x-y)-b(x-y)-c(y-x)= ；
(2)(m-n)2-(n-m)(m-2n)= ；
(3)3x3-27xy2= ；
(4)3x2y+12xy2+12y3= ．
(x-y)(a-b+c)
(m-n)·(2m-3n)
3x(x+3y)(x-3y)
3y(x+2y)2
12.计算：(1)5752×6－4252×6；
解：
(1)原式＝6×(5752－4252)
＝6×(575＋425)×(575－425)
＝6×1000×150
＝900000.
(2)原式＝
20192 -(2019－1)×(2019＋1)-9992
＝20192－(20192－1)－9992
＝1－9992
＝(1＋999)×(1－999)
＝－998000.
(2)20192－2018×2020－9992.
【当堂检测】
四、课堂总结
整式乘法与因式分解
因式
分解
① am ·an=am+n ②(am)n=amn
③ (ab)n=anbn ④am÷an=am-n(m,n都是正整数）
定义: 与整式乘法互逆
幂的运算性质
整式的
乘除法
①单×单
②单×多
③多×式
④单÷单
⑤多÷单
步骤:一提二套三检查
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2