2023-2024学年初中数学北师大版八年级下册1.1 等腰三角形 第1课时课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时
1.熟悉两个三角形全等的判定方法,会用角角边定理进行证明
2.掌握等腰三角形的性质并会用性质解决简单的问题
3.会证明角角边定理及等腰三角形的有关性质
一、学习目标
二、新课导入
思考：你还记得等腰三角形的定义吗
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
三、概念剖析
（一）全等三角形的判定及性质
2.全等三角形的对应边相等、对应角相等.
1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
如图，已知AB=DE,∠A=∠D, 要证明图中的两个三角形全等，需添加的条件是？
可添加的条件是：①∠C=∠F(运用定理AAS可证明)
② AC=DF(运用定理SAS可证明)
③ ∠B=∠E(运用定理ASA可证明)
（二）等腰三角形的性质定理
性质1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
思考：若右图中的△ABD≌△ACD，可以什么结论？
三、概念剖析
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
结论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
若右图中的△ABD≌△ACD，可以得到：
①∠BAD=∠CAD，即AD为顶角平分线；
②∠ADB=∠ADC=90°，即AD为底边上的高线；
③BD=CD，即AD为底边上的中线.
三、概念剖析
三、概念剖析
（二）等腰三角形的性质定理
性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.简称“三线合一”.
思考：如图，△ABC是一个等腰三角形，AD底边上的高线，∠BAC=40°，BC=6，则∠B的度数为？BD的长为多少？
根据等腰三角形的“三线合一”性质可得：
∠B=70°,BD=3.
例1：(1)若等腰三角形一个角为70°,求另外两个角的度数.　
四、典型例题
解：55°,55°或70°,40°.
已知一个角为70°，则三角形的另外两个角的和为110°，又因为是等腰三角形，所以另一个底角可以为70°，所以第三个角为40°，同理可得出另外两个角为55°,55°.
(2)若等腰三角形一个外角是80°,求这三角形的三个内角的度数.
解：40°,40°,100°.
因为外角为80°，则对应的内角为100°，因此这个三角形中另外两个角的和为80°，则另外两个角分别为40°, 40°.
【当堂检测】
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的度数是（ ）
A. 40° B. 50 °
C. 65° D. 50°或65°
D
2.等腰三角形一个底角为65°,它的另外两个角为 .
65°,50°
注意：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.
设∠C=x，则∠DAC=x，
∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.
∴∠C=x=38.5°，∠B=2x=77°.
【当堂检测】
例2：已知：△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）.
∴∠B=∠C.
证法1：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
A
B
C
D
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
四、典型例题
∴△ABD ≌ △ACD（SAS），
∴∠B＝∠C.
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
A
B
C
D
(
(
1
2
四、典型例题
已知：△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
A
B
C
D
四、典型例题
已知：△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
4.填空：如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
(1)如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠______，BD=______；
D
总结：知一线得二线.“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题.
【当堂检测】
(2)如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥ ，BD= ；
(3)如果BD=CD,那么∠BAD =∠_____， AD⊥ ,
∠ADB =∠_____= °
CAD
CD
BC
CD
CAD
BC
90
ADC
解：在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵∠BAC=100 °，
5.已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°, 过屋顶A的立柱AD⊥BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）.
∴∠BAD=∠CAD=50°.
A
B
D
C
∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)=40°(三角形内角和定理).
【当堂检测】
6.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
点拨：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
图②
图①
【当堂检测】
6.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG-DG＝CG-EG，
∴BD＝CE；
图①
G
【当堂检测】
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
证明：(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
图②
【当堂检测】
五、课堂总结
性质1：
性质2：
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,即等腰三角形的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.