1.2 直角三角形 第1课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年初中数学北师大版八年级下册

(共20张PPT)
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时
1.掌握直角三角形的有关性质和判定
2.会证明勾股定理及其逆定理 (重点)
3.知道互逆命题、互逆定理的概念
一、学习目标
二、新课导入
如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，这个三角形有什么特点，你能求出图中∠1＋∠2的度数吗？
这个三角形是一个直角三角形，
根据三角形的内角和定理可得∠1＋∠2=90°.
做一做：
三、概念剖析
（一）直角三角形的性质和判定
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
例如：在“新课导入”中我们知道了∠1＋∠2=90°，我们可以说：
∠1与∠2与互余.
三、概念剖析
（二）勾股定理及逆定理
1.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如图, △ABC是直角三角形，可得:
A
B
C
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
在△ABC中，AB2 = BC2 + AC2成立，则可说明：
BC2 + AC2 = AB2
△ABC是直角三角形.
试一试：
1.如图，用4个全等的直角三角形拼成了一个正方形，结合勾股定理，表示出正方形ABCD的面积.
三、概念剖析
解：正方形ABCD的面积可表示为：
边长×边长=c2；
中间小正方形的面积+四个三角形的面积
=(b-a)2+4× a×b=a2+b2.
结合勾股定理，正方形ABCD的面积可表示为：
三、概念剖析
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论
和条件, 那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的　 　逆命题.
（三）互逆命题和互逆定理
如以下两个命题为互逆命题：
①“直角三角形的两个锐角互余”,
②“有两个角互余的三角形是直角三角形”
1.互逆命题的定义
条件和结论交换
三、概念剖析
如果一个定理的逆命题是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为
互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
如：定理“两直线平行,同位角相等”的逆命题是：
“同位角相等,两直线平行”它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理.
2.互逆定理的定义
例1：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高．
四、典型例题
(1)请找出图中的直角三角形，并说明理由.
解：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°,
∴图中有3个直角三角形，分别是:△ACD，△BCD，△ABC．
(2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等．
(2)∵∠ADC=90°
∴∠1与∠A互余，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠A，∠1=∠B．
【当堂检测】
1.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝37°，∠C＝53°
B．∠A＝34°，∠B＝56°
C．∠B＝42°，∠C＝38°
D．∠A＝72°，∠B＝18°
C
【当堂检测】
A．∠E+∠F=90°
B．∠1=∠B
C．∠1与∠F互余
D．共有2个直角三角形
2.如图，AB∥EF，∠C=90°，∠1＝50°，以下说法不正确的是( )
B
例2：有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．
四、典型例题
(1)试判断以点A、点B、点C为顶点的三角形是什么三角形？并说明理由．
(2)求这块地的面积．
解：(1)连接AC，
由勾股定理可知：AC2 = AD2 + CD2 =52，
又AC2 + BC2 =52 + 122 =132 =AB2
∴△ABC是直角三角形.
(2)这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积= ×5×12﹣ ×3×4=24（m2），
【当堂检测】
3.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．
若BD＝4，CD＝3，则BC的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C
【当堂检测】
4.如图△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AB= ．求BC的长.
分析：图中没有直角三角形，无法直接利用勾股定理，因此要求出BC的长，需要作辅助线构建一个直角三角形，可作BC边上的垂线.
【当堂检测】
解：作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，∴DA=DB，
由勾股定理得，AD2 + BD2 =AB2 =6，解得，AD=DB= ，
∵∠B=45°，∠BAC=75°，
由勾股定理得，AD2 + CD2 = AC2，即3+CD2 =4CD2，
解得，CD=1，则BC = BD + CD= +1．
已知：∠B=45°，∠BAC=75°，AB= .
D
∴∠C=60°
∴∠DAC=30°
∴CD= AC，
例3：判断下列每组命题的真假,并找出它们的关系.
四、典型例题
①对顶角相等；
③同旁内角互补，两直线平行
④两直线平行，内错角相等
⑤如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑥如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等
真
真
真
真
假
假
②相等的角是对顶角
为互逆命题
不为互逆命题
为互逆命题
思考：经过上面的判断，你得出什么结论？
结论：
2.原命题与逆命题的真假性没有直接的关系，原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题.
1.为互逆命题的两个命题的条件和结论是相反的.
四、典型例题
【当堂检测】
5.下列命题中，其逆命题成立的有 个．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a ＋b ＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
④能将三角形的面积分成相等的两部分的线段是三角形的中线.
3
【当堂检测】
6.请写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形；
(2)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
解: (1)逆命题是：多边形是四边形，是假命题；四边形是多边形，是真命题.
(2)逆命题是：如果a=0，b=0，那么ab=0，是真命题；
如果ab=0，那么a=0，b=0，是假命题.
五、课堂总结
2.勾股定理及逆定理
直角三角形的两个锐角互余. 有两个角互余的三角形是直角三角形.
1.直角三角形的性质和判定
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3.互逆命题真假性的判断
原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题.