1.3 线段的垂直平分线 （第2课时） 课件 14张PPT 2023-2024学年初中数学北师大版八年级下册

(共14张PPT)
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时
1.掌握三角形三边垂直平分线的性质（重点）
2.会用尺规作出等腰三角形
3.会用尺规过一点作已知直线的垂线
一、学习目标
1.线段垂直平分线的性质是什么？
回忆：
二、新课导入
2.线段垂直平分线的判定定理是什么？
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
填一填：下面是尺规作线段的垂直平分线的作法，请补充完整.
一、线段垂直平分线的作法
作法：(1)分别以 为圆心,
以 的长为半径作弧,
两弧交于点C和D.
A
B
C
D
2.作直线 .
则直线 就是线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB，如图.
求作：线段AB的垂直平分线.
点A和点B
三、概念剖析
大于 AB的长
CD
CD
三、概念剖析
做一做：如图，剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可
你发现了什么？
如何证明这个结论呢？
二、三角形三边垂直平分线的性质
三、概念剖析
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上.
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
A
B
C
P
三、概念剖析
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
提示：这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.
通过上面的证明，我们得到了三角形三边垂直平分线的性质定理
在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线,
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC
A
B
C
P
a
b
c
应用格式：
试一试：
1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
交点在三角形内
交点在斜边上
交点在三角形外
三、概念剖析
例1.已知：线段a、h　求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h (要求写出作法，保留作图痕迹)
四、典型例题
a
h
注意：作图依据是线段垂直平分线的性质.
作法：1.作BC=a；
2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4.连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形
N
M
D
C
B
A
1.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．在直线l上求一点P，使PA=PB；
【当堂检测】
分析：作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；
解：连接点A和点B，
分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，
过两弧交点作直线m，直线m是线段AB的垂直平分线，
直线m与直线l的交点P即为所求点，使得PA=PB.
·
A
·
B
l
P
m
2.已知线段a，求作以a为底，以2a为高的等腰三角形.(要求写出作法，保留作图痕迹)
作法：(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线交BC于D;
(3)在线段BC的垂直平分线上截取DA=2a,然后连接AB、AC,
△ABC即为所求作的三角形.
如图所示：
【当堂检测】
四、典型例题
例2.已知直线和直线上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过点P.(要求写出已知,求作,作法，保留作图痕迹)
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ．
A
B
C
l
P
作法：1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B．
2.作线段AB的垂直平分线PC．
注意：过一点作已知直线的垂线，分点在直线上和点在直线外两种情况；在同一平面内，过一定点作已知直线的垂线，只能作1条.
直线PC就是所求的垂线．
3.如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD(要求：保留作图痕迹，不写作法)
A
B
C
D
P
P点即所求作的点
【当堂检测】
五、课堂总结
1.三角形三边垂直平分线的性质定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.尺规作等腰三角形
已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形的依据是线段垂直平分线的性质.
3.在同一平面内，过一定点作已知直线的垂线，能作1条.